В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания рав- на 12, а выс...

July 2022 1 63 Report

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания рав-
на 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно,
причём P C1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1P Q пересекает ребро BC в точке M.
Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
Как решить задачу, не используя объём?

Answers & Comments

KuOV

Verified answer

Ответ:

$\boldsymbol{BK=\dfrac{3\sqrt{30}}{5}}$

Объяснение:

1. Строим сечение призмы плоскостью (А₁PQ).

Проводим отрезки А₁Р и A₁Q.

Строим вспомогательное сечение АА₁РР₁ - прямоугольник, АР₁║А₁Р.

В нижнем основании строим QM║АР₁, ⇒ QM║A₁P (две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым).

A₁PMQ - искомое сечение.

2. Строим плоскость, проходящую через ребро ВВ₁, перпендикулярную сечению.

Проведем ВН⊥QM и B₁H₁⊥A₁P. Так как QM║A₁P, то и перпендикуляры к этим прямым, лежащие в одной плоскости, параллельны.

Итак, QM⊥BH по построению, QM⊥B₁B (QM лежит в плоскости основания, а ВВ₁ перпендикулярно ему), значит, QM⊥(BB₁H₁).

QM принадлежит плоскости сечения, значит

(BB₁H₁)⊥(A₁PQ).

3. Строим перпендикуляр из точки В к плоскости сечения.

В плоскости (ВВ₁Н₁) проведем ВК⊥НН₁.

QM⊥(ВВ₁Н₁), ВК⊂(ВВ₁Н₁), значит QM⊥BK.

Тогда ВК⊥(A₁PQ), ⇒ ВК - искомое расстояние.

________________________________

Р₁С = РС₁ = 3, ⇒ ВР₁ = 12 - 3 = 9

BQ = AB - AQ = 12 - 4 = 8

QM║АР₁, по обобщенной теореме Фалеса:

$\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{BM}{MP_{1}}=\dfrac{2}{1}$

ВМ = 6, МР₁ = 3.

______

ΔBMQ: по теореме косинусов:

QM² = BM² + BQ² - 2BM·BQ·cos60°

QM² = 36 + 64 - 2 · 6 · 8 · 1/2 = 100 - 48 = 52

QM = 2√13

Полупериметр треугольника BMQ:

$p=\dfrac{8+6+2\sqrt{13}}{2}=7+\sqrt{13}$

Площадь по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-BM)(p-BQ)(p-QM)}$

$S=\sqrt{(7+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})(\sqrt{13}-1)(7-\sqrt{13})}$

$S=\sqrt{(49-13)(13-1)}=\sqrt{36\cdot 12}=6\cdot 2\sqrt{3}=\boldsymbol{12\sqrt{3}}$

$S=\dfrac{1}{2}QM\cdot BH$

$\boldsymbol{BH}=\dfrac{2S}{QM}=\dfrac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\boldsymbol{=\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}$

___________

ΔB₁A₁P: по теореме косинусов

A₁P² = B₁A₁² + B₁P² - 2·B₁A₁·B₁P·cos60°

A₁P² = 12² + 9² - 2 · 12 · 9 · 1/2 = 144 + 81 - 108 = 117

A₁P = 3√13

Полупериметр треугольника В₁А₁Р:

$p=\dfrac{12+9+3\sqrt{13}}{2}=10,5+1,5\sqrt{13}$

Площадь по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-A_{1}P)(p-B_{1}P)(p-B_{1}A_{1})}$

$S=\sqrt{(10,5+1,5\sqrt{13})(10,5-1,5\sqrt{13})(1,5+1,5\sqrt{13})(1,5\sqrt{13}-1,5)}$

$S=\sqrt{\left(\left(\dfrac{21}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\right)^{2}\right)\left(\left(\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2\right)}}$

$S=\sqrt{\left(\dfrac{441}{4}-\dfrac{117}{4}\right)\left(\dfrac{117}{4}-\dfrac{9}{4}\right)}=\sqrt{\dfrac{324}{4}\cdot \dfrac{108}{4}}=27\sqrt{3}$

$S=\dfrac{1}{2}A_{1}P\cdot B_{1}H_{1}$

$\boldsymbol{B_{1}H_{1}}=\dfrac{2S}{A_{1}P}=\dfrac{54\sqrt{3}}{3\sqrt{13}}\boldsymbol{=\dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}$

_____________

Рассмотрим выносной рисунок.

Проведем НЕ║ВВ₁

$EH_{1}=\dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{13}}-\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

EH₁ = BB₁ = 2

Из ΔНЕН₁ по теореме Пифагора:

$HH_{1}=\sqrt{EH_{1}^{2}+EH^{2}}$

$HH_{1}=\sqrt{\dfrac{36\cdot 3}{13}+4}=\sqrt{\dfrac{36\cdot 3+4\cdot 13}{13}}=\sqrt{\dfrac{160}{13}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{13}}$

$sin\alpha =\dfrac{EH}{HH_{1}}=\dfrac{2\cdot \sqrt{13}}{4\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2\sqrt{10}}$

________

ΔBKH:

$BK=BH\cdot sin\alpha =\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\cdot \dfrac{\sqrt{13}}{2\sqrt{10}}$

$\boldsymbol{BK}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{30}}{5}}$

8 votes Thanks 10

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social