В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM. Найдите площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.. Created by sote17. matematika-ru

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса...

DNHelper

Verified answer

Ответ:

$b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$

Пошаговое объяснение:

CM — медиана, проведённая из вершины прямого угла ⇒ AM = BM = CM = b. Тогда AL = b + a, BL = b - a (в зависимости от чертежа стороны могут поменяться местами, но суть от этого не поменяется).

Пусть BC = x, AC = y. Тогда по свойству биссектрисы $\dfrac{x}{y}=\dfrac{BL}{AL}=\dfrac{b-a}{b+a}$ . Тогда BC = (b - a)k, AC = (b + a)k, k ≠ 0.

По теореме Пифагора:

$(b-a)^2k^2+(b+a)^2k^2=4b^2\\k^2=\dfrac{4b^2}{(b-a)^2+(b+a)^2}=\dfrac{4b^2}{2a^2+2b^2}=\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}$

Площадь треугольника $S=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}(b-a)(b+a)k^2=\dfrac{b^2-a^2}{2}\cdot\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}=b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$

6 votes Thanks 4

sote17 Спасибо! Отличное решение! Можете поподробнее разъяснить момент с добавлением k?

DNHelper x и y относятся так же, как и b-a к b+a, то есть когда делим x на y, получаем (b-a)/(b+a). Значит, x и y отличаются от b-a и b+a в одинаковое количество раз (k). Если поделить получившиеся x и y, k попросту сократится.

sote17 Отлично, спасибо, понял )

MrSolution

Ответ:

$\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}$

Пошаговое объяснение:

Запишем систему:

$\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{BL}{BC}\\AC^2+BC^2=AB^2$

Знаем, что медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Тогда $AB=2b\;=>\;AB^2=4b^2$ . Теперь понятно и, что $AL=a+b$ и $BL=b-a$ . Учитывая это получим:

$\dfrac{AL^2}{AC^2}=\dfrac{BL^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2\\\\\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2$

Получили уравнение с одной неизвестной BC:

$\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}$

Выразим BC:

$\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\(a+b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2-(a-b)^2BC^2\\(a+b)^2BC^2+(a-b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2\\BC^2((a+b)^2+(a-b)^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2(2a^2+2b^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2=\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\BC=\dfrac{\sqrt{2}b(b-a)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Теперь выразим AC:

$AC^2=4b^2-BC^2\\AC^2=4b^2-\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\AC=\dfrac{\sqrt{2}(ab+b^2)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Теперь найдем площадь:

$S=\dfrac{1}{2}AC\times BC\\S=\dfrac{b(b-a)(ab+b^2)}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}$

Задача решена!

4 votes Thanks 3

sote17 Огромное спасибо! Отличное решение )

sote17 Здравствуйте, у меня небольшой вопрос, почему, когда вы извлекли корень из bc^2 вы поменяли местами (a-b) на (b-a)?

Answers & Comments

Verified answer

Укажи формулу вещества с ковалентной связью: NH3 KF Cu2O Ca С объяснением...

Атомы какого из элементов не образуют химической связи? 1) F 2) Br 3) Ne С объ...

Укажи формулу вещества с металлической связью: Na CH4 BaCl2 NH3 С объяснением...

Укажи формулу вещества с ионной связью: 1) CaCl2 2) Ag 3) HF 4) H2O С объясне...

Отметь ряд веществ с ионной, металлической и ковалентной связью: 1 ) Zn,Ne,H2 2...

Допиши предложение: взаимодействие, которое связывает отдельные атомы в более сл...

3)))))ответ дать с точностью до 7 знаков после запятой в виде десятичной дроби...

В ΔABC известна сторона BC=a, ∠A=A, и r - радиус вписанной окружности, найти его...

Нашёл это неравенство на просторах интернета, решал несколько часов, мб кто нибу...

Что значит совпадают множества решений? Вот например решением какого то условног...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social