В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM. Найдите площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.. Created by sote17. matematika-ru

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса...

DNHelper

Verified answer

Ответ:

$b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$

Пошаговое объяснение:

CM — медиана, проведённая из вершины прямого угла ⇒ AM = BM = CM = b. Тогда AL = b + a, BL = b - a (в зависимости от чертежа стороны могут поменяться местами, но суть от этого не поменяется).

Пусть BC = x, AC = y. Тогда по свойству биссектрисы $\dfrac{x}{y}=\dfrac{BL}{AL}=\dfrac{b-a}{b+a}$ . Тогда BC = (b - a)k, AC = (b + a)k, k ≠ 0.

По теореме Пифагора:

$(b-a)^2k^2+(b+a)^2k^2=4b^2\\k^2=\dfrac{4b^2}{(b-a)^2+(b+a)^2}=\dfrac{4b^2}{2a^2+2b^2}=\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}$

Площадь треугольника $S=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}(b-a)(b+a)k^2=\dfrac{b^2-a^2}{2}\cdot\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}=b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$

6 votes Thanks 4

sote17 Спасибо! Отличное решение! Можете поподробнее разъяснить момент с добавлением k?

DNHelper x и y относятся так же, как и b-a к b+a, то есть когда делим x на y, получаем (b-a)/(b+a). Значит, x и y отличаются от b-a и b+a в одинаковое количество раз (k). Если поделить получившиеся x и y, k попросту сократится.

sote17 Отлично, спасибо, понял )

MrSolution

Ответ:

$\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}$

Пошаговое объяснение:

Запишем систему:

$\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{BL}{BC}\\AC^2+BC^2=AB^2$

Знаем, что медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Тогда $AB=2b\;=>\;AB^2=4b^2$ . Теперь понятно и, что $AL=a+b$ и $BL=b-a$ . Учитывая это получим:

$\dfrac{AL^2}{AC^2}=\dfrac{BL^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2\\\\\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2$

Получили уравнение с одной неизвестной BC:

$\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}$

Выразим BC:

$\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\(a+b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2-(a-b)^2BC^2\\(a+b)^2BC^2+(a-b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2\\BC^2((a+b)^2+(a-b)^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2(2a^2+2b^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2=\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\BC=\dfrac{\sqrt{2}b(b-a)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Теперь выразим AC:

$AC^2=4b^2-BC^2\\AC^2=4b^2-\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\AC=\dfrac{\sqrt{2}(ab+b^2)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Теперь найдем площадь:

$S=\dfrac{1}{2}AC\times BC\\S=\dfrac{b(b-a)(ab+b^2)}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}$

Задача решена!

4 votes Thanks 3

sote17 Огромное спасибо! Отличное решение )

sote17 Здравствуйте, у меня небольшой вопрос, почему, когда вы извлекли корень из bc^2 вы поменяли местами (a-b) на (b-a)?

Answers & Comments

Verified answer

ukazhi formulu veshestva s kovalentnoj svyazyu nh3 kf cu2o ca s obyasneniem

atomy kakogo iz elementov ne obrazuyut himicheskoj svyazi 1 f 2 br 3 ne s ob

ukazhi formulu veshestva s metallicheskoj svyazyu na ch4 bacl2 nh3 s obyasneniem

ukazhi formulu veshestva s ionnoj svyazyu 1 cacl2 2 ag 3 hf 4 h2o s obyasne

otmet ryad veshestv s ionnoj metallicheskoj i kovalentnoj svyazyu 1 znneh2 2

dopishi predlozhenie vzaimodejstvie kotoroe svyazyvaet otdelnye atomy v bolee sl

3otvet dat s tochnostyu do 7 znakov posle zapyatoj v vide desyatichnoj drobi

v dabc izvestna storona bca aa i r radius vpisannoj okruzhnosti najti ego

nashyol eto neravenstvo na prostorah interneta reshal neskolko chasov mb kto nibu

chto znachit sovpadayut mnozhestva reshenij vot naprimer resheniem kakogo to uslovnog

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social