Ответ:

1) 2√10 см; 2√15 см

2) ∠АОВ=2·∠ACB или 2·arcsin√

∠АОС=2·∠AВС или 2·arcsin√ .

Пошаговое объяснение:

1) Высота, опущенная из вершины прямого угла делит прямоугольник на 2 подобных ему прямоугольника. Это следует из первого признака подобия (равенство двух углов)

Рассмотрим рисунок. Имеем исходный прямоугольный ΔАВС и подобные ему ΔКАС и ΔКВА.

Примем высоту АК за х. Тогда из подобия треугольников получим:

х/4=6/х ⇒ х²=24 ⇒ х=√24.

Из прямоугольных ΔКАС и ΔКВА найдем катеты ΔАВС.

АВ=√(ВК²+АК²)=√(16+24)=2√10 см

АС=√(КС²+АК²)=√(36+24)=2√15 см

2) Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Пусть т. О - середина гипотенузы  ΔАВС. Тогда получаем два равнобедренных  ΔАВО  и ΔАСО с основаниями АВ и АС соответственно.

Из свойств сегментов окружностей известно, что угол сегмента окружности равен 2·arcsin( с/2R), где с-длина хорды, R-радиус окружности.

Тогда  ∠АОВ=2·arcsin( AB/BC) ⇒   ∠АОВ=2·arcsin( sin∠ACB)=2·∠ACB.

Соответственно:

∠АОС=2·arcsin( AС/BC) ⇒   ∠АОС=2·arcsin( sin∠AВС)=2·∠AВС.

Если нужен цифровой ответ, то

∠АОВ=2·∠ACB=2·arcsin( АВ/ВС)= 2·arcsin(2√10/10)=2·arcsin√

∠АОС=2·arcsin( AС/BC)= 2·arcsin(2√15/10)=2·arcsin√