В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √2, угол при основани...

В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √2, угол при основание равен 30 градусам найдите периметр треугольника.

Проведем высоту АН. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой.

АН = АС = √2/2 (ед.)

Угол ВАС = 30° (по условию)

Тангенс есть отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg(30)° = BH : АН

tg(30)° = BH : √2/2

√3/3 = BH : √2/2

√3/3 = √2 × BH

BH = √3/(3√2)

BH = √6/6 (ед.)

По т. Пифагора:

c² = a² + b²

$\displaystyle AB^{2} = \Bigg (\frac{\sqrt{2} }{2}\Bigg )^{2} + \Bigg (\frac{\sqrt{6} }{6}\Bigg )^{2}$

$\displaystyle AB^{2} = \frac{2}{4} +\frac{6}{36} \\\\AB^{2} =\frac{1}{2} +\frac{1}{6} \\\\AB^{2} =\frac{2}{3}\\\\AB =\frac{\sqrt{6} }{3}$

AB = √6/3 (ед.)

Так как треугольник равнобедренный:

AB = BC = √6/3 (ед.)

Периметр равнобедренного треугольника ищем по формуле:

P = 2a + b, где a - боковая сторона, b - основание.

$\displaystyle P = 2 * \frac{\sqrt{6} }{3} +\sqrt{2} \\\\P=\frac{2\sqrt{6} }{3} +\sqrt{2}$

Ответ: (2√6)/3 + √2 (ед.)