Verified answer

Дано:

ΔАВС, АВ=ВС=4 

медиана АМ=3.

АС²=?

Решение:

1. Проведем медиану ВН из угла АВС. Так как ΔАВС - равнобедренный, то медиана ВН является также высотой треугольника. 

АН=НС=а 

2. По свойству медиан тругольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

определяем, что АО/ОМ = 2/1. При этом АО+ОМ=3.⇒ АО=2, ОМ=1  

Обозначим отрезок ОН за х. Тогда ВО=2х.

3. Выразим значение а через два прямоугольных треугольника  - ΔАОН и ΔВНС:

из   ΔАОН :  а²=АО²-ОН²=4-х²

из   ΔВНС :   а²= ВС²-ВН²=16-9х²   (где ВН= ВО+ОН=2х+х)

Составляем уравнение:  16-9х²= 4-х²

Решаем уравнение:  

8х²=12

х²=3/2

подставляем найденное значение х² в выражение   а²=4-х² :

а²=4-3/2= (16-6)/4=10/4

Нам требуется найти квадрат стороны АС. При этом АС=2а.

АС²=4а²=4*10/4= 10

Ответ: АС²=10