В школе проводился турнир по настольному теннису, в котором играли $$35$$ участников. Турнир закончился, когда еще не все участники сыграли друг с другом. При этом оказалось, что среди любых четырех участников турнира можно было выбрать одного, сыгравшего с остальными тремя. Каким могло быть наименьшее число участников, каждый из которых сыграл со всеми остальными участниками турнира?
Answers & Comments
Verified answer
Ответ: 32
Пошаговое объяснение:
Т.к. турнир закончился когда прошли еще не все партии, то точно есть хотя бы одна неоконченная партия. Рассмотрим игроков, которые должны были играть эту партию. Обозначим их А и Б.
Составляя все четверки, в которые входят игроки А и Б, мы получим, что в этих четверках всегда проведена игра между парой, которая подставлена в четверку к паре А и Б.
Т.е. остальные 33 игрока полностью отыграли между собой все матчи.
Из этих 33 игроков выберем игрока В, который не играл с А или Б. Тогда подставляя остальных 32 игроков в четверку с тройкой А, Б и В мы получим, что эти 32 игрока отыграли и с А и с Б, т.е. полностью отыграли все матчи.
Таким образом минимальное количество игроков каждый из которых сыграл со всеми участниками турнира равно 32.
Покажем, что 32 участника это возможный результат.
Простой пример - сыграны все матчи, кроме А - Б и Б - В.