Verified answer

Подробно объясняю.

Если трапецию МОЖНО вписать В окружность, то она равнобедернная (параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, а равным дугам соответствуют равные хорды. То есть БОКОВЫЕ стороны трапеции равны.

Если ВОКРУГ трапеции можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (Это следует из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки. Каждая сторона равна сумме 2 таких отрезков. А суммы противоположных сторон равны сумме всех 4 разлиных отрезков касательных , проведенных из 4 различных вершин. Кстати, это работает не только на трапеции, но и на любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность.) 

Поэтому боковая сторона равна полусумме оснований.

А радиус вписанной окружности равен половине высоты (это уже совсем просто - окружность МЕЖДУ 2 параллельными касательными).

Осталось найти высоту.

Опустим перпендикуляр из вершины основания b на а. Расстояние от ближайшего конца а до основания этого перпендикуляра будет (a - b)/2; 

Мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2*r, (a - b)/2, (a + b)/2;

Находим отсюда r по теореме Пифагора.

4*r^2 = (a+b)^2/4 - (a-b)^2/4 = a*b;

r = корень(a*b)/2;