в треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана BK. Из точек D и K опущены перпендикуляры DM и KN на сторону АВ. Известно, что АМ:МВ=9:1, AN:NB=2:3. Найти отношение AD:BK
Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения. O - точка пересечения AD и BK, CH - высота к AB. Ясно, что MD II CH II KN; Поэтому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5; Получилось AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5; Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH; но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD; Это означает (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и высота. Это не все чудеса этой задачи. Далее. DM - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD. При этом BM = AB/10; AM= AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2)*9/100; DM = AB*3/10 = 3*BM; Прямоугольные треугольники BMD и ABD подобны. Поэтому AD = 3*BD; Поскольку O - точка пересечения медиан, то DO = AD/3 = BD; это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный. Это означает, что OD/OB = 1/√2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3; получается AD/BK = √2;
7 votes Thanks 12
artrespekt1
Там вот только в равнобедренном треугольнике не AB=BC, а AB=AC
Answers & Comments
Verified answer
Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения.O - точка пересечения AD и BK, CH - высота к AB.
Ясно, что MD II CH II KN;
Поэтому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5;
Получилось AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5;
Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH;
но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD;
Это означает (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и высота.
Это не все чудеса этой задачи. Далее.
DM - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD.
При этом BM = AB/10; AM= AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2)*9/100;
DM = AB*3/10 = 3*BM;
Прямоугольные треугольники BMD и ABD подобны.
Поэтому AD = 3*BD;
Поскольку O - точка пересечения медиан, то DO = AD/3 = BD;
это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный.
Это означает, что OD/OB = 1/√2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3;
получается AD/BK = √2;