Verified answer

Даны вершины параллелепипеда A(3,1,-1), B(2,-2,4), C(2,3,-1), D(1,1,2).

Находим векторы AB, AC, AD.

АВ = (2-3; -2-1; 4-(-1)) = (-1; -3; 5).

АС = (2-3; 3-1; -1-(-1)) = (-1; 2; 0).

AD = (1-3; 1-1; 2-(-1)) = (-2; 0; 3).

Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD), равен смешанному произведению этих векторов.

-1    -3     5|     -1      -3

-1     2     0|     -1       2

-2    0     3|     -2      0 = -6 +0 + 0 - 9 - 0 + 20 = 5 куб ед.

Теперь определяем площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.

i        j       k|      i        j

-1     -3      5|     -1      -3

-1      2     0|      -1       2 = 0i - 5j - 2k - 0j - 10i - 3k =  -10i - 5j - 5k.

Площадь равна половине модуля найденного векторного произведения.

S = (1/2)√((-10)² + (-5)² + (-5)²) = (1/2)√(100 + 25 + 25) = (1/2)√150 = 5√6/2 кв. ед.

Высота параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. равна

H = V/S = 5/(5√6/2) = 2/√6 = √6/3 ≈ 0,816497.