Назовем треугольник АВС. Центр описанной около треугольника окружности О лежит на пересечении серединных перпендикуляров АА1, ВВ1 и СС1. Рассмотрим треугольник АОВ1:  угол ОАВ1=60/2=30. Тогда ОВ1 – катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит АО=2ОВ1. Примем ОВ1 за х. АВ1=АС/2=5 корня из 3/2. Тогда:

АО^2-OB1^2=AB1^2

(2х)^2-х^2=(5 корня из 3/2)^2. Отсюда х=2,5=ОВ1; АО=2*2,5=5=r

Пусть О1 – центр шара. Рассмотрим треугольник ОАО1:

О1А^2=AO^2+OO1^2=5^2+12^2=25+144=169; О1А=13

S=4*пи*R^2=4*пи*О1А^2=4*3,14*13^2=2122,64