A 2x²-sin2x+C б Выделим целую часть из дроби 2x³+5 | x²-x-2 2x³-2x²-4x 2x+2 ----------------- 2x²+4x+5 2x²-2x-4 --------------- 6x+9 Дробную часть представим как сумму дробей x²-x-2=(x-2)(x+1) x1+x2=1 U x1*x2=-2 (6x+9)/(x-2)(x+1)=A/(x-2)+B/(x+1) Ax+A+Bx-2B=6x+9 (A+B)x +(A-2B)=6x+9 {A+B=6⇒A=6-B {A-2B=9 6-B-2B= 9 3B=-3 B=-1 A=7 Получили под интегралом (2x³+5)/(x²-x-2)=(2x+2)+7/(x-2)-1/(x+1) 3 Сделаем преобразования подинтегральной функции (2x³+4x²+2x-1)/[(x+1)²(x²+2x+2)]=(2x+1)/(x²+2x+2)-1/(x+1)²= (2x+2)/(x²+2x+2)-1/(2x+2x+2)-1/(x+1)²= =(x²+2x+2)`/(x²+2x+2)-1/[(x+1)²+1]-1/(x+1)²
Answers & Comments
Verified answer
A2x²-sin2x+C
б
Выделим целую часть из дроби
2x³+5 | x²-x-2
2x³-2x²-4x 2x+2
-----------------
2x²+4x+5
2x²-2x-4
---------------
6x+9
Дробную часть представим как сумму дробей
x²-x-2=(x-2)(x+1)
x1+x2=1 U x1*x2=-2
(6x+9)/(x-2)(x+1)=A/(x-2)+B/(x+1)
Ax+A+Bx-2B=6x+9
(A+B)x +(A-2B)=6x+9
{A+B=6⇒A=6-B
{A-2B=9
6-B-2B= 9
3B=-3
B=-1
A=7
Получили под интегралом
(2x³+5)/(x²-x-2)=(2x+2)+7/(x-2)-1/(x+1)
3
Сделаем преобразования подинтегральной функции
(2x³+4x²+2x-1)/[(x+1)²(x²+2x+2)]=(2x+1)/(x²+2x+2)-1/(x+1)²=
(2x+2)/(x²+2x+2)-1/(2x+2x+2)-1/(x+1)²=
=(x²+2x+2)`/(x²+2x+2)-1/[(x+1)²+1]-1/(x+1)²