Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Одна высота треугольника делится этой точкой пополам, вторая высота делится в отношении 2: 1, начиная от вершины. Найти отношение, в котором точка Н делит третью высоту.
Как ни странно, для решения таких задач важно максимально упростить форму записи соотношений, которые получаются из условия. Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H; Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1; Теорема Ван-Обеля дает AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1; BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2; Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает (AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1; А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B; Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать. Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c; тогда вся эта абракадабра переписывается так a + 1/c = 1; 1/a + b = 2; abc = 1; и надо найти c + 1/b; теперь видно, что эту систему очень легко решить. из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3; c + 1/b = 5 = CH/HC1;
Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.
3 votes Thanks 3
cos20093
Есть куча очень простых задач, которые просто не решаются без этой теоремы. Например, если точки A1, B1, C1 - это точки касания вписанной окружности, то соотношение очевидно выполнено, и прямые пересекаются в одной точке, которая называется точка Жергона. Ну вот попробуйте доказать это без теоремы Чевы. Уверяю, у Вас не получится.
cos20093
Ориентацию отрезков учитывать на самом деле необходимо - тогда теорема работает независимо от того, где находится точка пересечения и точки A1, B1, C1, внутри или снаружи.
cos20093
Я могу порекомендовать довольно старые книжки, которые есть на сети. Зеттель "Новая геометрия треугольника", например. Вообще хорошо почитать известную монографию в 2 томах Понарина "Элементарная геометрия". Там есть все, и очень понятно изложено.
cos20093
Я очень рекомендую всем сделать поиск в сети по словам "акопян геометрия". В первом же результате будет абсолютно чудесная книжка Арсения Акопяна "Геометрия в картинках". Она изменит Ваше представление о геометрии.
Удачник66
Большое спасибо за рекомендации, приятно встретить на сайте школоты действительно умного человека, и при этом не заносчивого, как известный Febus с сайтов, которые здесь нельзя упоминать.
Удачник66
Кстати, ваша оговорка "есть НА сети" говорит о многом. Уважаю!
cos20093
Я говорю "на сети" и "в сети", и это не оговорки. Я не вижу тут оснований для снобизма :( Что вас не устроило, поясните?
cos20093
Если это намек, что я где-то "беру" решения, то тут вы ошибаетесь - мне в этом нет нужды. Я повторяю, что захожу сюда в поисках занятных головоломок. Именно поэтому я решаю тут геометрию, хотя моя профессия и мое образование (это разные вещи, увы) - из другой области.
Удачник66
Меня всё устроило. Просто я знаю, что "есть в сети" говорят все, а "есть на сети" говорят истинные сетевые профессионалы, Админы с большой буквы, имеющие опыт администрирования сетей с 90-х годов 20 века. Уважаю!
cos20093
Вы попали в точку. Отдаю должное вашей проницательности. Однако не стоит преувеличивать - я когда-то получил элитное образование в области физики (не уточняю), а в администрирование сетей пошел не от хорошей жизни в середине 90х.
Answers & Comments
Verified answer
Как ни странно, для решения таких задач важно максимально упростить форму записи соотношений, которые получаются из условия.Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;
Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;
Теорема Ван-Обеля дает
AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;
BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;
Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;
А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;
Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.
Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c;
тогда вся эта абракадабра переписывается так
a + 1/c = 1;
1/a + b = 2;
abc = 1;
и надо найти c + 1/b;
теперь видно, что эту систему очень легко решить.
из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;
c + 1/b = 5 = CH/HC1;
Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.