1. Найти область определенияфункции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - это точка х = -1.
2. Выяснить, является ли функциячетной или нечетной.
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1} - Нет \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1} - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Выяснить, является ли функцияпериодической - нет.
4. Найти точки пересечения графикас осями координат (нули функции).
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = 0. Решаем это уравнение. Точки пересечения с осью X: x_{1} = 2.
5. Найти асимптоты графика.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. Находим коэффициент k: Находим коэффициент b: Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x - 5.
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точкиразрыва: x1 = -1 Находим пределы в точке -1. Они равны +-∞. Поэтому точка x1 = -1 является вертикальной асимптотой.
6. Вычислить производную функции f'(x)и определить критические точки.
Приравниваем нулю производную и получаем 2 корня х = 2 и х = -4 и четыре промежутка значений производной (с учётом разрыва функции в точке х = -1): (-∞; -4), (-4; -1), (-1; 2), (2; +∞).
Определяем знак производной на полученных промежутках:
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна -там убывает.
х ∈ (-∞; -4) ∪ (2; +∞) - функция возрастает,
х ∈ (-4; -1) ∪ (-1; 2) - функция убывает.
8. Определить экстремумы функции f(x).
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - гдепроизводная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс- точки минимума. В точке х = -4 (знак с + на -) это максимум,
в точке х = 2 (знак с - на +) это минимум.
9. Вычислить вторую производную f''(x) = 18/(x+1)³.
10. Определить направлениевыпуклости графика и точки перегиба.
Так как вторая производная в области определения не может быть равной нулю, то функция не имеет перегибов.
11. Построить график, используя полученные результаты исследования. Он дан в приложении.
Answers & Comments
Verified answer
Дана функция1. Найти область определенияфункции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - это точка х = -1.
2. Выяснить, является ли функциячетной или нечетной.
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Выяснить, является ли функцияпериодической - нет.
4. Найти точки пересечения графикас осями координат (нули функции).
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = 0.
Решаем это уравнение.
Точки пересечения с осью X: x_{1} = 2.
5. Найти асимптоты графика.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b.
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x - 5.
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точкиразрыва:
x1 = -1
Находим пределы в точке -1. Они равны +-∞.
Поэтому точка x1 = -1 является вертикальной асимптотой.
6. Вычислить производную функции f'(x)и определить критические точки.
Приравниваем нулю производную и получаем 2 корня х = 2 и х = -4 и четыре промежутка значений производной (с учётом разрыва функции в точке х = -1): (-∞; -4), (-4; -1), (-1; 2), (2; +∞).
Определяем знак производной на полученных промежутках:
х = -5 -4 -3 -1 0 2 3y' = 0,4375 0 -1,25 - -8 0 0,4375.
7. Найти промежутки монотонностифункции.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна -там убывает.
х ∈ (-∞; -4) ∪ (2; +∞) - функция возрастает,
х ∈ (-4; -1) ∪ (-1; 2) - функция убывает.
8. Определить экстремумы функции f(x).
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - гдепроизводная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс- точки минимума.
В точке х = -4 (знак с + на -) это максимум,
в точке х = 2 (знак с - на +) это минимум.
9. Вычислить вторую производную f''(x) = 18/(x+1)³.
10. Определить направлениевыпуклости графика и точки перегиба.
Так как вторая производная в области определения не может быть равной нулю, то функция не имеет перегибов.
11. Построить график, используя полученные результаты исследования.Он дан в приложении.