В задание исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графику. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на непрерывность; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) Найти интервалы функции и точки е экстремума ; 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; 6) Найти асимптоты графика функции.
y= 6/x^2 +3
y= 6/x^2 +3
Answers & Comments
Verified answer
Дана функция y= 6/(x² +3).1) Найти область определения функции;
Ограничений нет - х ∈ R.
2) Исследовать функцию на непрерывность;
Непрерывна, так как нет точек разрыва функции.
3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной;
f(-x) = 6/((-x)² + 3) = 6/(x² +3) = f(x). Функция чётная.
4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ;
Находим производную функции.
y' = -12x/(x² + 3)².
Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 1 корень:
х = 0.
Имеем 2 промежутка (-∞; 0) и (0; ∞).
Гдепроизводная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - гдепроизводная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс- точки минимума.
x = -1 0 1
y' =0,75 0 -0,75.
Отсюда получаем:
Функция возрастает на промежутке (-∞; 0) и убывает на промежутке (0; ∞).
Экстремум только один - это максимум в точке х = 0.
5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции;
Находим вторую производную.
y'' = 36(x² - 1)/(x² + 3)³.
Приравняв нулю, имеем 2 точки перегиба х = 1 и х = -1.
6) Найти асимптоты графика функции.
Асимптота есть одна у = 0 (ось Ох).
График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.