Объяснение:

Для решения данного дифференциального уравнения методом разделяющихся переменных необходимо переписать его в виде:

(dy)/(dx) + (4xy)/(x^2+1) = 1/(x^2+1)

(dy)/(dx) = (1/(x^2+1)) - (4xy)/(x^2+1)

(dy)/(dx) = (1 - 4xy)/(x^2+1)

Теперь разделим переменные, переместив (x^2+1) в правую часть уравнения и переместив dy в левую часть уравнения:

(dy)/(1 - 4xy) = (dx)/(x^2+1)

Затем интегрируем обе части уравнения:

∫(dy)/(1 - 4xy) = ∫(dx)/(x^2+1)

Используя замену u = 1 - 4xy для первого интеграла и замену v = x^2 + 1 для второго интеграла, получаем:

-1/4 ∫(du)/u = arctan(x) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Используя замену w = -4xy, можем переписать это выражение в более компактном виде:

ln|1 - 4xy| = -4arctan(x) + C

Возводим обе части уравнения в экспоненту:

|1 - 4xy| = e^(-4arctan(x)+C)

При решении этого уравнения необходимо учитывать два возможных случая:

1 - 4xy > 0:

1 - 4xy = e^(-4arctan(x)+C)

4xy = 1 - e^(-4arctan(x)+C)

x = (1 - e^(-4arctan(x)+C))/(4y)

1 - 4xy < 0:

-(1 - 4xy) = e^(-4arctan(x)+C)

4xy - 1 = e^(-4arctan(x)+C)

x = (1 - e^(-4arctan(x)+C))/(4y)

Итак, общее решение дифференциального уравнения:

x = (1 - e^(-4arctan(x)+C))/(4y)