Ответ:

[tex]y{_{min}}=0[/tex]; [tex]y{_{max}}=\dfrac{4}{e^{3} }[/tex]   - экстремумы функции

Пошаговое объяснение:

Найти экстремумы функции:

[tex]y=(x-2)^{2} e^{x-3}[/tex]

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

D(y) = (-∞; +∞)

Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования производной

[tex](uv)'=u'v+uv',[/tex]

где u,v - дифференцируемые функции.

[tex]y'=((x-2)^{2} e^{x-3})'=((x-2)^{2} )'\cdot e^{x-3}+(x-2)^{2} \cdot( e^{x-3})'=\\\\=2(x-2)\cdot e^{x-3}+(x-2)^{2}\cdot e^{x-3}=e^{x-3}(x-2)(2+x-2)=e^{x-3}\cdot x\cdot(x-2)[/tex]

Найдем критические точки, решив уравнение: [tex]y'=0[/tex]

[tex]e^{x-3}\cdot x\cdot(x-2)=0;\\x{_1}=0;\\x{_2}=2[/tex]

Критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Определим знак производной на каждом промежутке ( во вложении)

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "+" на "-", то данная точка является точкой максимума .

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "-" на "+", то данная точка является точкой минимума.

Тогда

[tex]x{_{min}}=2;\\x{_{max}}=0.[/tex]

Найдем экстремумы функции. Для этого найдем значение функции в точках экстремума .

[tex]y{_{min}}= y(2)=(2-2)^{2} \cdot e^{2-3} =0\cdot e^{-1} =0[/tex]  

[tex]y{_{max}}= y(0)=(0-2)^{2} \cdot e^{0-3} =4\cdot e^{-3} =\dfrac{4}{e^{3} }[/tex]

#SPJ1