Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной ...

June 2022 1 59 Report

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

Обозначения:
$a_i$ - сторона i-ого треугольника
$h_i$ - высота i-ого треугольника
$P_i$ - периметр i-ого треугольника

Перметр равностороннего треугольника определяется по формуле $P_i=3a_i$ , значит если стороны заданных треугольников образую геометрическую прогрессию, то и их периметры также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a_1=8sm$ . Так как треугольник равносторонний, то все его высоты равны. Найдем длину одной из них. Высота является противолежащим катетом для угла равностороннего треугольника 60 градусов, гипотенузой в таком прямоугольном треугольнике является сторона равностороннего треугольника:
$\sin 60^0= \frac{h_1}{a_1} \\\ h_1=a_1\sin60^0=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$
Так как высота треугольника есть длина стороны следующего треугольника, т.е. $h_1=a_2$ , то:
$a_2=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Вывод: длина стороны следующего треугольника есть длина стороны предыдущего треугольника, умноженная на множитель $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ (для геометрической прогрессии он и будет являться знаменателем).
Рассуждая аналогично:
$a_3=h_2=a_2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=a_1\cdot (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2
\\\
a_4=h_3=...=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^3
\\\
...
\\\
a_n=h_{n-1}=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$

Стороны образую геометрическую прогрессию, значит и их периметры также образуют геометрическую прогрессию:
$P_n=3a_n=3a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$
Можно подставить длину стороны исходного треугольника:
$P_n=3\cdot8\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$
$P_n=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ - общая формула n-ого члена

Для n=6:
$P_6=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{6-1}=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^5=24\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{32}=3\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{4}=\frac{27 \sqrt{3} }{4}(sm)$

8 votes Thanks 7

Answers & Comments

Verified answer

dokazhite chto esli an geometricheskaya progressiya to 1 a2a6a3a5 2 an 3

v pryamougolnom treugolnike abc ugol c90 gradusov cd perpendikulyaren ab ad2 d

2 adbc h kak iz vsego etogo najti ad

v pryamougolnoj trapecii bokovye storony ravny 7sm i 5sm a bolshee osnovanie 111390c7be3eb53b0ceaee2b968a393033 97801

uprostite vyrazhenie95880dc60285b65d47ade531d03f2e67 85706

v pryamougolnoj trapecii bokovye storony ravny 7sm i 5sm a bolshee osnovanie 11

vychislit 17843 03 obyasnite kak eto voobshe delat

opredelite stepen okisleniya elementov po formulam ih soedinenij kcro hvo

chto takoe socialisticheskoe obshestvo1915191a0d15efed3eb7f31498e65d6a 52288

nomer 5 pomogite pozhalujsta5c422b09b0485f805f6b2bab18d7208d 29884

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social