1) Из трех билетов два выигрышные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5 билетов хотя бы один выигрышный?

Так как из трех билетов выигрышных два, то вероятность выиграть , тогда вероятность проиграть . 

Зная р и q, можно найти вероятность наступления хотя бы одного события в n испытаниях по формуле: .

Подставляя известные данные, получим: .

Ответ: 242/243

2) Найти вероятность того, что при одновременном броске двух кубиков сумма выпавших очков равна 9?

Всего исходов 36, благоприятных исходов 4 (выпали кубики 3/6, 4/5, 5/4, 6/3).

Тогда искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов: .

Ответ: 1/9

3) Шесть человек случайным образом сели на лавочке. Найти вероятность того, что два фиксированных человека будут сидеть рядом?

Всего вариантов - число перестановок из 6 элементов: . Для того чтобы найти число благоприятных исходов, (то есть того, что два фиксированных человека будут сидеть рядом), мы "склеиваем" этих двоих и считаем число перестановок из 5 элементов: , но так как они могут сесть двояко (один слева, другой справа и один справа, другой слева) мы домножаем получившееся число на 2: .

Искомая вероятность равна .

Ответ: 1/3

Verified answer

1) Всего у нас n - билетов. Вероятность вытащить выигрышный:

p = 1 - p(не вытащили выигрышные билеты)

p(не вытащили не одного выигрышного билета) =

2) 4 + 5 = 5 + 4 = 6 + 3 = 3 + 6 = 9

Всего у нас 6*6 = 36 исходов. Благоприятствующих - 4 (они обозначены строкой выше).

3) Всего у нас 6*5*4*3*2*1 = 6! возможностей рассадить этих людей на лавочке. (первым сядет один из шести, вторым, один из оставшихся пяти и т.д.)

Фиксируем двух человек, назовём их первым и вторым. Тогда у нас такие возможности:

1 2  4 других

1 другой 1 2 3 других

2 других 1 2 2 других

3 других 1 2 1 другой

4 других 1 2

2 1  4 других

1 другой 2 1 3 других

2 других 2 1 2 других

3 других 2 1 1 другой

4 других 2 1

Всего десять возможностей, и на каждую приходится 4! размещений, в чём легко убедиться.

Рассмотрим только для одного случая(т.к. об остальных можно рассуждать аналогично): 1 2 - 4 других. 4 других места можно распределить 4 * 3 * 2 * 1 способами, а первые две фиксированы, то есть их распределить можно только одним способом. 1 * 4 * 3 * 2 * 1 = 4!