Задание 1.
Точка K удалена от каждой из вершин квадрата ABCD, сторона которого равна 6√2, на расстояние, равное 10.
1. Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из точки K на плоскость квадрата, совпадает с центром квадрата.
2. Найдите расстояние от точки K до плоскости квадрата.
Задание 2.
Точка M удалена от плоскости равнобедренного ABC на 1 см и на одинаковое расстояние от каждой из сторон этого треугольника. Зная, что AB = BC = 3√2 и AC = 2√2, найти в градусах угол наклона прямой MC к плоскости треугольника.
Точка K удалена от каждой из вершин квадрата ABCD, сторона которого равна 6√2, на расстояние, равное 10.
1. Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из точки K на плоскость квадрата, совпадает с центром квадрата.
2. Найдите расстояние от точки K до плоскости квадрата.
Задание 2.
Точка M удалена от плоскости равнобедренного ABC на 1 см и на одинаковое расстояние от каждой из сторон этого треугольника. Зная, что AB = BC = 3√2 и AC = 2√2, найти в градусах угол наклона прямой MC к плоскости треугольника.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
1. а) Наклонные КА,КВ,КС и КD равны (дано), значит равны и их проекции на плоскость АВСD. Следовательно, АО=ВО=СО=DO => точка О - точка пересечения диагоналей квадрата, то есть его центр. Что и требовалось доказать.
б) По Пифагору АС=√(AD²+DC²) = √144 =12. ОС = 6.
КО=√(КС²-ОC²) = √(100-36) = 8.
2. Проекция точки М на плоскость АВС - центр О вписанной в треугольник АВС окружности, так как проекции равных наклонных равны. Радиус вписанной окружности найдем по формуле: r = S/p, где S - площадь треугольника, а р - его полупериметр. У нас р = (3√2+3√2+2√2)/2 = 4√2.
По формуле Герона S = √(p*(p-a)(p-b)(p-c). У нас
S= √(4√2*√2*√2*2√2) = 4√2. Тогда r = 4√2/4√2 = 1.
В прямоугольном треугольнике СОН катет ОН=1, катет СН=АС/2 = √2. Тогда по Пифагору ОС = √(1+2) = √3.
Тангенс угла МСО (а это и есть искомый угол, так как угол между наклонной прямой и плоскостью равен углу между этой наклонной и ее проекцией на плоскость) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
МО/ОС = 1/√3. А это угол, равный 60°.
Ответ: угол наклона прямой МС к плоскости треугольника равен 60°