Verified answer

1) tg⁴φ[ 8cos²(π-φ)-cos(π+4φ)-1]=tg⁴φ [8cos²φ+cos4φ-1]=tg⁴φ [8cos²φ-(1-cos4φ)]=

=tg⁴φ [8cos²φ-2sin²2φ]=tg⁴φ [8cos²φ-2*(2sinφcosφ)²]=tg⁴φ [8cos²φ-8sin²φcos²φ]=

=tg⁴φ* 8cos²φ [1-sin²φ]=8*tg⁴φ *cos²φ *cos²φ=8*tg⁴φ *cos⁴φ=8 sin⁴φ 

2) sin⁴x-cos⁴x=sin2x

(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=sin2x ,  cos2x=cos²x-sin²x

-cos2x=sin2x

sin2x-cos2x=0 Делим на cos2x≠0 

tg2x-1=0,  tg2x=1,   2x=π/4+πn,  x=π/8+πn/2, n∈Z

3) 2sin²x-√3sin2x=0

  2sin²x-√3*2*sinx cosx=0

2sinx(sinx-√3cosx)=0

a) sinx=0, x=πn, n∈Z

b) sinx-√3cosx=0 Делим на cosx≠0, получим 

    tgx-√3=0,  tgx=√3,  x=arctg√3+πk,  x=π/3+πk, k∈Z  

Ответ: x=πn, n∈Z , x=π/3+πk, k∈Z

4)  a)  2 arcsin(-√3/2)+arctg(-1)+arccos√2/2= 2*(-arcsin√3/2)-arctg1+arccos√2/2=

  =-2* π/3-π/4+π/4= -2π/3

b)  arcsin1+arctg(-√3)+arccos√3/2=π/4-arctg√3+π/6=π/4-π/3+π/6=π/12

5)cos2x=-5/13,  x∈(π, 3π/2).  Найти tgx.

  cos2x=(1-tg²x) /(1+tg²x)

Для удобства обозначим  t=tgx, тогда подставим в предыдущую формулу значение cos2x, получим      -5      1-t²

                    ----- = ------  ,   -5(1+t²)=13(1-t²) ,    -5-5t²=13-13t² ,  8t²=18 ,  t²=2,25  

                      13     1+t²                                                                                      t₁= -1,5    t₂= +1,5

 По условию угол принадлежит 3 четверти, ф в ней tgx<0,поэтому  tgx= +1,5

 1) b)    1           2cos2α                     1         2cos2α         cos²α      2cos2α

           ----- - ----------------------- =  ------ - ---------------- = --------- - -------------- = 

           tg²α    1+sin(2α+1,5π)        tg²α      1-cos2α        sin²α         2sin²α  

   cos²α - (cos²α-sin²α)         sin²α

= ----------------------------- = ----------- =1

              sin²α                          sin²α