1)   x+y=1-z

   x^2+y^2=(1-z^2)=(1-z)*(1+z)

   x^3+y^3= (1-z^3)=(1-z)*( 1+z+z^2)  

Положим что  x≠-y , тогда возможно поделить  второе уравнение на первое.

Делим второе уравнение на  первое:

(x^2+y^2)/(x+y)= 1+z

cкладываем с:

(x^2+y^2)/(x+y)  +x+y=(1-z)+(1+z)=2

(2x^2+2y^2+2xy)/(x+y)=2

x^2+xy+y^2=x+y

xy= (x+y) -(x^2+y^2)=(1-z)-(1-z^2)= z^2-z

x^3+y^3=(x+y)*(x^2-xy+y^2)=(1-z)*(1-z^2 -(z^2-z) )=(1-z)*(1+z-2z^2)=

=(1-z)*(1+z+z^2)

(1-z)*(1+z-2z^2 -1-z-z^2)=0

(1-z)*(-3z^2)=0

либо z=1 ; либо  z=0

Если z=1,  то  x+y=0 ,что  противоречит предположению, значит z=0.

x+y=1  (x^2+2xy+y^2=1)

x^2+y^2=1

2xy=0

либо  x=0 , либо  y=0.

Таким  образом имеем решения:

(0;1;0) ;(1;0;0)    ( в скобках  (x;y;z) )

Либо, если  x=-y  → z=1 ,но  тогда  x^2+y^2=2x^2=0  →x=y=0 (0;0;1)

Таким образом решения- это все комбинации  единички и двух нулей:

Ответ:  (0;0;1) ; (0;1;0) ; (1;0;0)

2) Похожий  принцип решения:

x+y=7/2 -z

1/x +1/y=7/2 -1/z=(x+y)/(xy)

xy=1/z

(7/2 -z)/(1/z) =7/2-1/z

(7/2-z)*z -7/2+1/z=0

тк  z≠0

(7-2z)*z^2 -7z +2=0

7z^2-2z^3 -7z+2=0

7z*(z-1) -2*(z^3-1)=0

7z*(z-1)  -2*(z-1)*(z^2+z+1)=0

(z-1)* (7z -2z^2-2z-2)=0

 z1=1

-2z^2+5z-2=0

2z^2-5z+2=0

D=25 -16=9=3^2

z=(5+-3)/4

z2=2 ; z3=1/2

1)   z1=1

    x+y=5/2  

    xy=1

Cистема теоремы Виета  имеет  два симметричных решения,что можно найти подбором:

x1=2;  y2=1/2

x2=1/2; y2=2

2)  z2=2

 Из  симметрии задачи относительно x,y,z ,тк решений аналогично так же 2 симметричных имеем:

x3=1 ;y3=1/2

x4=1/2 ;y3=1

3)  z3=1/2

 x5=1 ; y5=2

 x6=2 ; y6=1

Ответ:  все перестановки  чисел  (1;1/2;2)