Пошаговое объяснение:Давайте розв'яжемо цю задачу разом. Рівняння 1 + √(1 - x²) = |x - a| можна розбити на два випадки: x ≥ a та x < a.
Якщо x ≥ a, то |x - a| = x - a. Тоді рівняння приймає вигляд 1 + √(1 - x²) = x - a. Перенесемо всі члени в ліву частину: √(1 - x²) - x + a = 0. Піднесемо обидві частини до квадрату: (1 - x²) + x² - 2x√(1 - x²) + a² = 0. Спростимо: 1 - 2x√(1 - x²) + a² = 0. Перенесемо всі члени окрім √(1 - x²) в праву частину: 2x√(1 - x²) = 1 + a². Піднесемо обидві частини до квадрату: 4x²(1 - x²) = (1 + a²)². Спростимо: 4x² - 4x⁴ = 1 + 2a² + a⁴. Перенесемо всі члени в ліву частину: 4x⁴ - 4x² + 2a² + a⁴ + 1 = 0.
Якщо x < a, то |x - a| = -(x - a) = a - x. Тоді рівняння приймає вигляд 1 + √(1 - x²) = a - x. Перенесемо всі члени в ліву частину: √(1 - x²) + x - a = 0. Піднесемо обидві частини до квадрату: (1 - x²) + x² + 2x√(1 - x²) + a² = 0. Спростимо: 1 + 2x√(1 - x²) + a² = 0. Перенесемо всі члени окрім √(1 - x²) в праву частину: 2x√(1 - x²) = -(a² + 1). Оскільки ліва частина завжди невід'ємна, а права завжди від'ємна, то цей випадок не має розв'язків.
Отже, ми отримали біквадратне рівняння вигляду 4x⁴ - 4x² + 2a² + a⁴ + 1 = 0 для випадку, коли x ≥ a. Це рівняння має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю: D = (-4)² - 4 * 4 * (2a² + a⁴ + 1) =
Answers & Comments
Ответ:
Пошаговое объяснение:Давайте розв'яжемо цю задачу разом. Рівняння 1 + √(1 - x²) = |x - a| можна розбити на два випадки: x ≥ a та x < a.
Якщо x ≥ a, то |x - a| = x - a. Тоді рівняння приймає вигляд 1 + √(1 - x²) = x - a. Перенесемо всі члени в ліву частину: √(1 - x²) - x + a = 0. Піднесемо обидві частини до квадрату: (1 - x²) + x² - 2x√(1 - x²) + a² = 0. Спростимо: 1 - 2x√(1 - x²) + a² = 0. Перенесемо всі члени окрім √(1 - x²) в праву частину: 2x√(1 - x²) = 1 + a². Піднесемо обидві частини до квадрату: 4x²(1 - x²) = (1 + a²)². Спростимо: 4x² - 4x⁴ = 1 + 2a² + a⁴. Перенесемо всі члени в ліву частину: 4x⁴ - 4x² + 2a² + a⁴ + 1 = 0.
Якщо x < a, то |x - a| = -(x - a) = a - x. Тоді рівняння приймає вигляд 1 + √(1 - x²) = a - x. Перенесемо всі члени в ліву частину: √(1 - x²) + x - a = 0. Піднесемо обидві частини до квадрату: (1 - x²) + x² + 2x√(1 - x²) + a² = 0. Спростимо: 1 + 2x√(1 - x²) + a² = 0. Перенесемо всі члени окрім √(1 - x²) в праву частину: 2x√(1 - x²) = -(a² + 1). Оскільки ліва частина завжди невід'ємна, а права завжди від'ємна, то цей випадок не має розв'язків.
Отже, ми отримали біквадратне рівняння вигляду 4x⁴ - 4x² + 2a² + a⁴ + 1 = 0 для випадку, коли x ≥ a. Це рівняння має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю: D = (-4)² - 4 * 4 * (2a² + a⁴ + 1) =