Ответ:

3)  Интегрирование по частям .

[tex]\bf \displaystyle \int (2x-3)\cdot sin\frac{x}{2}\, dx=\Big[\ u=2x-3\ ,\ du=2\, dx\ ,\ dv=sin\frac{x}{2}\, dx\ ,\\\\\\v=- \frac{1}{2}\, cos\frac{x}{2}\ \Big]=uv-\int v\, du=-\frac{1}{2}\, (2x-3)\cdot cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\int cos\frac{x}{2}\, dx=\\\\\\=\Big(\frac{3}{2}-x\Big)\cdot cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\, sin\frac{x}{2}+C[/tex]  

4) Линейное дифференциальное уравнение 1 порядка .

[tex]\displaystyle \bf y'+\dfrac{2y}{x}=x^3\ \ ,\ \ \ zamena:\ y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v=uv'\\\\\\u'v+uv'+\frac{2}{x}\, uv=x^3\ \ ,\ \ \ u'v+u\, \Big(v'+\frac{2}{x}\, v\Big)=x^3\ \ ,\\\\\\a)\ v'+\frac{2}{x}\, v=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=-\frac{2}{x}\ \ ,\ \ \ \int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\ln|\, v\, |=-2\, ln|\, x\, |\ \ \ \Rightarrow \ \ \ v=\frac{1}{x^2}\\\\\\b)\ \ u'v=x^3\ \ ,\ \ \ \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{x^2}=x^3\ \ ,\ \ \ \int du=\int x^5\, dx\ \ ,\\\\\\u=\frac{x^6}{6}+C[/tex]  

[tex]\bf c)\ \ y=uv=\dfrac{1}{x^2}\cdot \Big(\dfrac{x^6}{6}+C\Big)\ \ ,\ \ \ \ \boxed{\bf \ y=\dfrac{x^4}{6}+\dfrac{C}{x^2}\ }[/tex]