Verified answer

Пошаговое объяснение:

Щоб дослідити монотонність та екстремуми функції, спочатку знайдемо її похідну:

[tex]y' = -\frac{8}{x^3} - 1[/tex]

Для визначення точок екстремуму розв’язуємо рівняння:

[tex]-\frac{8}{x^3} - 1 = 0[/tex]

[tex]\frac{8}{x^3} = -1[/tex]

[tex]x^3 = -8[/tex]

[tex]x = -2[/tex]

Підставляємо значення x у другу похідну, щоб визначити тип екстремуму:

[tex]y'' = \frac{24}{x^4}[/tex]

[tex]y''(-2) = \frac{24}{(-2)^4} = 1.5 > 0[/tex]

Отже, точка (-2, 2) є точкою мінімуму.

Далі, аналізуємо знак першої похідної:

Якщо [tex]x < -2[/tex], то [tex]y' < 0[/tex], тому функція спадна на цьому інтервалі.

Якщо [tex]x > -2[/tex], то [tex]y' > 0[/tex], тому функція зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція має точку мінімуму в (-2, 2) та є спадною на інтервалі (-∞, -2) та зростаючою на інтервалі (-2, ∞).