Ответ:

1)  Вычислить определитель, приведя его к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований . (str - строка)

[tex]\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\end{array}\right|=\ 2str-1str\ ;\ 3str-1str\ ;\ 4str-1str\ =\\\\\\=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&-2&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&-2\end{array}\right|=1\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8[/tex]  

[tex]2)\ \left|\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&1&2&-1\\3&-1&2&3\\3&1&6&1\\\end{array}\right|=\ 4str-3str\ =\left|\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&1&2&-1\\3&-1&2&3\\0&2&4&-2\\\end{array}\right|=\\\\\\=1str\cdot (-3)+3str\cdot 2\ =\left|\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&1&2&-1\\0&1&1&6\\0&2&4&-2\\\end{array}\right|=\ 3str-1str\ ;\ 2str\cdot (-2)+4str\, =[/tex]    

[tex]=\left|\begin{array}{cccc}2&-1&1&0\\0&1&2&-1\\0&0&-1&7\\0&0&0&0\\\end{array}\right|=0[/tex]                      

3)  Раскрываем определитель по 3-ей строке .

[tex]\left|\begin{array}{cccc}2cos^2\frac{a}{2}&sina&1\\2cos^2\frac{\beta }{2}&sin\beta &1\\1&0&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}sina&1\\sin\beta &1\end{array}\right|-0+\left|\begin{array}{cccc}2cos^2\frac{a}{2}&sina\\2cos^2\frac{\beta }{2}&sin\beta \end{array}\right|=\\\\\\=sina-sin\beta +2sin\beta \cdot cos^2\dfrac{a}{2}-2\, sina\cdot cos^2\dfrac{\beta }{2}=\\\\=sina\, (1-2cos^2\dfrac{\beta }{2})-sin\beta \, (1-2cos^2\dfrac{a}{2})=sina\cdot (-cos\beta )-sin\beta \cdot (-cosa)=[/tex]

[tex]=sin\beta \cdot cosa-cos\beta \cdot sina=\boldsymbol{sin(\beta -a)}[/tex]    

4)  Решить уравнение . Раскроем определитель по 3 строке .

[tex]\left|\begin{array}{ccc}1&-7&1\\2&8&2\\1&5&x+5\end{array}\right|=0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-7&1\\8&2\end{array}\right|-5\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&1\\2&2\end{array}\right|+(x+5)\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&-7\\2&8\end{array}\right|=0[/tex]        

[tex](-14-8)-5\cdot (2-2)+(x+5)\cdot (8+14)=0\\\\-22+22\cdot (x+5)=0\\\\-1+(x+5)=0\\\\\bf x=-4[/tex]