Ответ:

1)  Подведение под знак дифференциала .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{5\, cos\dfrac{x}{3}\, dx}{\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}=15\int \frac{d(sin\dfrac{x}{3})}{\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}}=15\cdot ln\Bigg|\, sin\frac{x}{3}+\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}\, \Bigg|+C[/tex]  

2)  Выделение полного квадрата в знаменателе и подведение под знак дифференциала .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+6x+7}=\int\frac{dx}{(x+3)^2-2}=\int \frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt2}\cdot ln\Bigg|\, \frac{x+3-\sqrt2}{x+3+\sqrt2}\, \Bigg|+C[/tex]  

3) Интегрирование по частям два раза подряд :  [tex]\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du[/tex]

[tex]\bf \displaystyle \int \underbrace{\bf (x^2+3x)}_{u}\cdot \underbrace{\bf cos2x\, dx}_{dv}=(x^2+3x)\cdot \frac{1}{2}\, sin2x-\frac{1}{2}\int \underbrace{\bf (2x+3)}_{u}\underbrace{\bf sin2x\, dx}_{dv}=\\\\\\=\frac{1}{2}\, (x^2+3x)\, sin2x-\frac{1}{2}\cdot \Bigg(-\frac{1}{2}\, (2x+3)cos2x+\int cos2x\, dx\Bigg)=\\\\\\=\frac{1}{2}\, (x^2+3x)\, sin2x+\frac{1}{4}\, (2x+3)cos2x-\frac{1}{4}\, sin2x+C[/tex]

4)  Применяем формулу для произведения синусов .

[tex]\bf \displaystyle \int sin3x\cdot sin5x\, dx=\frac{1}{2}\int \Big(cos2x-cos8x\Big)\, dx=\frac{1}{4}\, sin4x-\frac{1}{16}\, sin8x+C[/tex]

5)  Выделение полного квадрата и интегрирование по частям .

[tex]\bf \displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+13}\ dx=\int \sqrt{(x+1)^2+12}\ dx=\Big[\, t=x+1\ ,\ dx=dt\, \Big]=\\\\\\=\int \sqrt{t^2+12}\ dt= \int \frac{t^2+12}{\sqrt{t^2+12}}\, dt=\int \frac{t\cdot t\, dt}{\sqrt{t^2+12}}+12\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+12}}=\\\\\\=\Big[\, u=t\, ,\ dv=\frac{t\, dt}{\sqrt{t^2+12}}\ ,\ du=dt\ ,\ v=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2+12}\ \Big]=\\\\\\=t\cdot \sqrt{t^2+12}-\int \sqrt{t^2+12}\ dt+12\, ln\, \Big|\, t+\sqrt{t^2+12}\, \Big|\ \ \Rightarrow[/tex]

[tex]\bf \displaystyle 2\int \sqrt{t^2+12}\ dt=t\cdot \sqrt{t^2+12}+12\, ln\Big|\, t+\sqrt{t^2+12}\, \Big|+C[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle \int \sqrt{t^2+12}\ dt=\dfrac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{t^2+12}+6\, \ln\, \Big|\, t+\sqrt{t^2+12}\, \Big|+C\\\\\\\displaystyle \int \sqrt{(x+1)^2+12}\ dx=\dfrac{1}{2}\cdot (x+1)\sqrt{(x+1)^2+12}+\\\\+6\, ln\Big|\, x+1+\sqrt{(x+1)^2+12}\, \Big|+C\\\\\\\displaystyle \int \sqrt{x^2+2x+13}\ dx=\dfrac{1}{2}\, (x+1)\cdot \sqrt{x^2+2x+13}+6\, ln\Big|\, x+1+\sqrt{x^2+2x+13}\, \Big|+\\\\+C[/tex]