Ответ:  

  Выделяем полный квадрат, делаем замену переменных  и

интегрируем по частям по формуле :

    [tex]\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du\ \ .[/tex]      

[tex]\bf \displaystyle \int \sqrt{x^2-3x}\ dx=\int \sqrt{\Big(x-\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{9}{4}}\ dx=\Big[\, t=x-\frac{3}{2}\ ,\ dx=dt\, \Big]=\\\\\\=\int \sqrt{t^2-\frac{9}{4}}\ dt= \int \frac{t^2-\dfrac{9}{4}}{\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}}\, dt=\int \frac{t\cdot t\, dt}{\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}}-\frac{9}{4}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}}=\\\\\\=\Big[\, u=t\, ,\ dv=\frac{t\, dt}{\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}}\ ,\ du=dt\ ,\ v=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\ \Big]=[/tex]

[tex]\bf \displaystyle =t\cdot \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}-\int \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\ dt-\frac{9}{4}\, ln\, \Big|\, t+\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\, \Big|\ \ \Rightarrow[/tex]  

Перенесём интеграл из правой части равенства в левую, получим

[tex]\bf \displaystyle 2\int \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\ dt=t\cdot \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}-\frac{9}{4}\, ln\Big|\, t+\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\, \Big|+2C\ ;[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle \int \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\ dt=\dfrac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}-\frac{9}{8}\, \ln\, \Big|\, t+\sqrt{t^2-\dfrac{9}{4}}\, \Big|+C\ ;\\\\\\\int \sqrt{\Big(x-\dfrac{3}{2}\Big)^2-\dfrac{9}{4}}\ dx=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(x-\dfrac{3}{2}\Big)\sqrt{\Big(x-\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{9}{4}}\ -\\\\-\frac{9}{4}\, ln\Big|\, x+1+\sqrt{\Big(x-\dfrac{3}{2}\Big)^2-\frac{9}{4}}\, \Big|+C\ ;[/tex]  

  [tex]\bf \displaystyle \int \sqrt{x^2-3x}\ dx=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(x-\dfrac{3}{2}\Big)\sqrt{x^2-3x}-\frac{9}{4}\, ln\Big|\, x+1+\sqrt{x^2-3x}\ \Big|+C[/tex]