Ответ:

Ряд сходится.

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle U_n= \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}[/tex]

последовательность sin(n) ограничен слева и справа

-1 ≤ sin(n) ≤ sin(n)

Тогда мы можем сказать, что для  ∀ n справедливо

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}\leq \sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{n!}[/tex]

По признаку Даламбера исследуем ряд

[tex]\displaystyle V_n=\sum_{n=1}^ \infty\frac{1}{n!}[/tex]

Ряд   [tex]\displaystyle U_n[/tex] будет сходиться, если сходится ряд [tex]\displaystyle V_n[/tex].

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} =q,[/tex]  если q < 1, то ряд сходится.

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{1}{(n+1)!} :\frac{1}{n!}\bigg)= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n!(n+1)} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} =0[/tex]

наше значение q (=0) < 1, значит, ряд сходится.

А тогда сходится и исходный ряд   [tex]\displaystyle U_n= \sum_{n=1}^ \infty\frac{sin(n)}{n!}[/tex].