Ответ:

[tex]y=-\ln(1-x).[/tex]

Объяснение:

Есть стандартный способ решения таких задач (в уравнении явно нет x,  поэтому теория рекомендует замену [tex]y'=p(y);\ y''=p'\cdot y'=p'p.[/tex]

Но конкретно эту задачу можно сделать проще: заметим, что

[tex](e^y)'=e^y\cdot y',[/tex] поэтому уравнение можно записать в виде [tex]y''=(e^y)';\ y'=e^y+C;[/tex] подставляя начальные условия, получаем

1=1+С⇒ C=0; [tex]y'=e^y;\ \dfrac{dy}{dx}=e^y;\ e^{-y}\, dy=dx;\ \int e^{-y}\, dy=\int\, dx;[/tex]

[tex]-e^{-y}=x+C;[/tex] подставляя начальные условия, получаем -1=0+С⇒ С=-1; [tex]e^{-y}=1-x;\ -y=\ln(1-x);\ y=-\ln(1-x).[/tex]