Объяснение:

рассмотрите предложенный вариант, ответ подчёркнут красным; проверка не проводилась.

Ответ:

[tex]y''-4y=4sin2x\ \ ,\ \ y(0)=2\ ,\ y'(0)=7\\\\1)\ \ y''-4y=0\ \ \to \ \ \ k^2-4=0\ \ ,\ \ k=\pm 2\\\\y_{o}=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}[/tex]

Это общее решение ЛОДУ 2 пор.

[tex]2)\ \ f(x)=e^{0\cdot x}\cdot 4sin2x\ \ ,\ \ \alpha =0\ne \pm 2\ \ \Rightarrow[/tex]  

Частное решение ЛНДУ 2 пор. имеет вид   [tex]\widetilde{y}=A\, cos2x+Bsin2x[/tex]  .

[tex]\widetilde{y}'=-2Asin2a+2B\, cos2a\\\\\widetilde{y}''=-4Acos2x-4Bsin2x\\\\y''-4y=\ -4A\, cos2x-4Bsin2x-4A\, cos2x-4Bsin2x\ =\ 4sin2x\\\\cos2x\ |\ -4A-4A=0\ \ \ ,\ \ \ \ A=0\ ,\\sin2x\ |\ -4B-4B=4\ \ \ ,\ \ -8B=4\ \ ,\ \ B=-0,5\\\\\widetilde{y}=-0,5\, sin2x[/tex]

3)  Общее решение ЛНДУ 2 пор. :

  [tex]y=y_{o}+\widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}-0,5\, sin2x[/tex]

4) Найдём частное решение ЛНДУ 2 пор.  [tex]y_{ch.resh.}[/tex] .

[tex]y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}-0,5\, sin2x\\\\y(0)=C_2+C_2-0=2\ \ ,\ \ C_1+C_2=2\\\\y'=-2C_1e^{-2x}+2C_2e^{2x}-cos2x\\\\y'(0)=-2C_1+2C_2-1=7\ \ ,\ \ -2C_1+2C_2=8\ \ ,\ \ -C_1+C_2=4\\\\\left\{\begin{array}{l}C_1+C_2=2\\-C_1+C_2=4\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}2C_2=6\\C_1=C_2-4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}C_2=3\\C_1=-1\end{array}\right[/tex]  

[tex]\underline{\ y_{ch.resh.}=-e^{-2x}+3e^{2x}-0,5sin2x\ }[/tex]