Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

[tex]S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}[/tex]

Рассмотрим сумму:

[tex]1 - 2x^2+4x^4-\ldots+2^{200}x^{400}[/tex]

В данной геометрической прогрессии первый член:

[tex]b_1=1[/tex]

Найдем знаменатель:

[tex]q=\dfrac{-2x^2}{1} =-2x^2[/tex]

Определим число членов. Можно заметить, что номер члена соответствует показателю степени двойки, увеличенному на 1. Так как последний член прогрессии равен [tex]2^{200}x^{400}[/tex], то он имеет номер 201:

[tex]n=201[/tex]

Подставим все данные в формулу:

[tex]S_n=\dfrac{1\cdot((-2x^2)^{201}-1)}{-2x^2-1}=\dfrac{(-2x^2)^{201}-1}{-2x^2-1}=\dfrac{-(2x^2)^{201}-1}{-2x^2-1}=[/tex]

[tex]=\dfrac{(2x^2)^{201}+1}{2x^2+1}=\dfrac{2^{201}(x^2)^{201}+1}{2x^2+1}=\dfrac{2^{201}x^{402}+1}{2x^2+1}[/tex]

Ответ: [tex]\dfrac{2^{201}x^{402}+1}{2x^2+1}[/tex]