Основные формулы для геометрической прогрессии:

[tex]b_n=b_1q^{n-1}[/tex]

[tex]S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}[/tex]

Рассмотрим известные условия:

[tex]\begin{cases} y_4-y_2=-24 \\ y_3+y_2=6 \\ S_n=-182 \end{cases}[/tex]

Распишем отдельно первое и второе условие:

[tex]\begin{cases} y_1q^3-y_1q=-24 \\ y_1q^2+y_1q=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} y_1q(q^2-1)=-24 \\ y_1q(q+1)=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} y_1q(q+1)(q-1)=-24 \\ y_1q(q+1)=6 \end{cases}[/tex]

Первое уравнение почленно разделим на второе и получим:

[tex]\dfrac{y_1q(q+1)(q-1)}{y_1q(q+1)} =\dfrac{-24}{6}[/tex]

[tex]q-1=-4[/tex]

[tex]\boxed{q=-3}[/tex]

Подставим, например, во второе уравнение найденное значение знаменателя:

[tex]y_1\cdot(-3)\cdot(-3+1)=6[/tex]

[tex]y_1\cdot(-3)\cdot(-2)=6[/tex]

[tex]y_1\cdot6=6[/tex]

[tex]\boxed{y_1=1}[/tex]

Теперь распишем последнее условие:

[tex]\dfrac{y_1(q^n-1)}{q-1}=-182[/tex]

И подставим известные величины:

[tex]\dfrac{1\cdot((-3)^n-1)}{-3-1}=-182[/tex]

[tex]\dfrac{(-3)^n-1}{-4}=-182[/tex]

[tex](-3)^n-1=-182\cdot(-4)[/tex]

[tex](-3)^n-1=728[/tex]

[tex](-3)^n=729[/tex]

[tex](-3)^n=(-3)^6[/tex]

[tex]\boxed{n=6}[/tex]

Ответ: первый член равен 1; знаменатель равен -3; количество членов прогрессии 6