Verified answer

1) Сколькими способами можно сложить 6 томов энциклопедии так, чтобы 1-й том не оказался выше 2-го?

1 случай, первый том находится на первой полке, тогда остальные 6 - 1 = 5 томов мы можем расставить как угодно, т.е 5! = 120 способами

2 случай, первый том находится на второй полке, для второго тома остается 5 - 1 =  4 места, а остальные 4 тома можно расставить 4! = 24 способами, тогда всего есть 24·4= 96 способов удовлетворяющих условию задачи

3 случай, по той же аналогии,   (5 - 2)·4! = 72 способа

4 случай, (5-3)·4! = 48 способов

5 случай, (5-4)·4! = 24 способа

6 случая нет, т.к оказавшись на последней полке, 1-й том будет в любом случае ниже второго

Итого : 120 + 96 + 72 + 48 + 24 = 24·(5 + 4 + 3 + 1) = 24·15 = 360 способов

2) Найти n, если

[tex]\displaystyle 3 C^n _{n +3} - C^n _{n +2} = 8 (n+2)^2~, ~ n \in \mathbb N \\\\ 3 \cdot \frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!} - \frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!} = 8(n+2)^2 ~ \big|\cdot 6 \\\\ 3(n+3)(n+2)(n+1) - 3(n+2)(n+1) = 48 (n+2)^2 \\\\ (n+2)\Big(3(n+3)(n+1) - 3(n+1)-48 (n+2)\Big) = 0 \\\\ (n+2)(3n^2 + 12n + 9-3n - 3 - 48 n - 96) =0 \\\\ (n+2)(3n^2 -39 n -90 ) =0[/tex]

Корень в первой скобке не подходит, т.к  n = - 2 ∉ N, рассматриваем вторую

[tex]3n^2 -39 n -90 = 0 ~ \big | : 3 \\\\ n^2 - 13n - 30 = 0[/tex]

По теореме Виета

n₁ = 15 , n₂ = - 2 ∉ N

⇒ n = 15 - корень

3) Найти значение выражения (a^3)-(a^-3), ecли a-(a^-1)=4

[tex]\displaystyle a^3 -\frac{1}{a^3} = ? \\\\ a - \frac{1}{a}= 4[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg ( a - \frac{1}{a}\bigg )^2= 4^2 \\\\\\ a^2 - 2\cdot a\cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 16 \\\\ a^2+ \frac{1}{a^2} = 18[/tex]

По формуле разностей кубов

[tex]\displaystyle a^3 -\frac{1}{a^3} = \bigg(a - \frac{1}{a} \bigg)\bigg (a^2 + a\cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} \bigg ) = \bigg( \overbrace{a + \frac{1}{a} }^{4}\bigg)\bigg (\overbrace{a^2 + \frac{1}{a^2} }^{18}+1 \bigg ) = \\\\ = 4\cdot 19 = 76[/tex]