Нужна помощь
Окружность с центром O, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, делит его большую сторону CD в точке касания E на части длиной 9 и 16 от вершины C. Верны ли следующие утверждения?
1) OCD+ODC=90°.
2 ) Длина высоты трапеции 20.
3) O равноудалена от вершин B и D.
4) Вокруг трапеции ABCD нельзя описать окружность.
5) Большое основание трапеции на 7 больше, чем малое основание.
6) Площадь трапеции ABCD в три раза больше площади треугольника ABC.
Окружность с центром O, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, делит его большую сторону CD в точке касания E на части длиной 9 и 16 от вершины C. Верны ли следующие утверждения?
1) OCD+ODC=90°.
2 ) Длина высоты трапеции 20.
3) O равноудалена от вершин B и D.
4) Вокруг трапеции ABCD нельзя описать окружность.
5) Большое основание трапеции на 7 больше, чем малое основание.
6) Площадь трапеции ABCD в три раза больше площади треугольника ABC.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Считаем дано, что CD - боковая сторона.
1) Верно.
Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис, OC и OD - биссектрисы.
∠OCD=C/2 ; ODC=D/2
Сумма внутренних односторонних углов при параллельных 180, C+D=180
=> ∠OCD+ODC=(C+D)/2=90°
2) Неверно.
Рассмотрим △COD
∠OCD+ODC=90 => ∠COD=90°
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, OE⊥CD
OE - высота из прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.
OE=√(CE*ED)=√(9*16)=12 =r (радиус вписанной окружности)
Диаметр вписанной окружности HF перпендикулярен основаниям, HF - высота трапеции =2r =24
3) Неверно.
OB=OH√2=12√2 (△BHO - р/б с углом 45)
FD=ED=16 (отрезки касательных из одной точки)
OD=√(OF^2+FD^2)=√(144+256)=20
4) Верно.
Вокруг четырехугольника можно описать окружность только если суммы его противоположных углов равны. Отсюда следует, что если трапеция вписанная, то она равнобедренная (углы при основаниях равны). Данная трапеция очевидно не равнобедренная (AB=HF=24, CD=25) и вокруг нее нельзя описать окружность.
5) Верно.
BH=AF =12
CH=CE=9 (отрезки касательных из одной точки)
BC=12+9=21 ; AD=12+16=28
AD-BC=7
6) Неверно.
S ABCD =(AD+BC)HF/2 =49*24/2
S ABC =BC*AB/2 =21*24/2
S ABCD/S ABC =49/21 =7/3