Verified answer

Ответ:

Высота пирамиды равна 6 м.

Большая сторона основания пирамиды равна 18 м.

Объем пирамиды равен 288 м³.

Квадрат длины диаметра сферической поверхности, описанной вокруг пирамиды, равен 424 м².

Объяснение:

Основание пирамиды - прямоугольник, малая сторона которой 8м. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания,а две другие образуют с ней углы arctg(3/4) и arctg(1/3).

Найдите высоту пирамиды.

Найдите большую сторону основания пирамиды.

Найдите объём пирамиды.

Найдите квадрат длины диаметра сферической поверхности, описанной вокруг пирамиды.

Дано: KABCD - пирамида;

ABCD - прямоугольник;

DC = AB = 8 м;

АКС ⊥ АВС; DKC ⊥ ABC;

∠КDC = arctg(3/4); ∠KBC = arctg(1/3)

Найти: КС; ВС; V(KABCD); квадрат длины диаметра сферической поверхности, описанной вокруг пирамиды.

Решение:

1. Рассмотрим ΔDKC.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

⇒ КС ⊥ СD,  ΔDKC - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

[tex]\displaystyle tg\angle KDC=\frac{KC}{DC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;KC=8\cdot tg(arctg\frac{3}{4})=8\cdot \frac{3}{4}=6\;_{(M)}[/tex]

Высота пирамиды равна 6 м.

2. Рассмотрим ΔВКС - прямоугольный.

[tex]\displaystyle tg\angle KBC=\frac{KC}{BC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;BC=\frac{6}{tg(arctg\frac{1}{3} )} = \frac{6\cdot3}{1}=18\;_{(M)}[/tex]

Большая сторона основания пирамиды равна 18 м.

3. Найдем объем пирамиды по формуле:

       V = 1/3 · Sосн. · h,

где h - высота пирамиды.

Sосн. = ВС · DC = 18 · 8 = 144 (м²)

[tex]\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot 144 \cdot6=288\;_{(M^3)}[/tex]

Объем пирамиды равен 288 м³.

4. Найдем квадрат длины диаметра сферической поверхности, описанной вокруг пирамиды.

Рассмотрим ΔАСD - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇒ АС² = DC² + AD² = 64 + 324 = 388

Рассмотрим ΔАКС - прямоугольный.

• Прямой вписанный угол опирается на диаметр.

⇒ АК - диаметр сферы.

По теореме Пифагора:

AK² = АС² + КС² = 388 + 36 = 424 (м²)

Квадрат длины диаметра сферической поверхности, описанной вокруг пирамиды, равен 424 м².