Как я уже писал, в уравнение ошибка, но почему-то отчаянно пытаются его решить... Возведём в квадрат

[tex]$x^8-2x^7-3x^6-12x^5+20x^4-8x^3+36x^2-44x+12=0$[/tex]

И заметим, что [tex]x=1[/tex] повторяется два раза, то есть

[tex]$(x-1)^2(x^6-4x^4-20x^3-16x^2-20x+12)=0$[/tex]

Теперь нам нужно доказать, что корни уравнения шестой степени нельзя выразить через элементарные функции

Группа Галуа будет состоять из перестановок корней уравнения, которые сохраняют его форму. Поскольку корни уравнения мы не можем найти и аналитически они вряд ли выражаются, то рассмотрим группу Галуа расширения поля, которое содержит все корни уравнения

Рассмотри расширение поля [tex]$\mathbb{Q}\left ( \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},x \right )$[/tex], где [tex]x[/tex] - один из корней уравнения. Так как все корни уравнения лежат в данном поле, то группа Галуа этого расширения будет также группой Галуа уравнения

Рассмотрим степень расширения [tex]$\left [\mathbb{Q}\left ( \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},x \right ):\mathbb{Q} \right ]$[/tex], которая равна 6. Так как степень уравнения шестая, то у нас будут подгруппы Галуа степеней от 1 до 6

Группа Галуа расширения степени 6 не будет абелевой, и так как она будет подгруппой себя самой, она будет иметь индекс 1 в своей группе Галуа. Тогда, эта подгруппа не будет разрешимой, а значит мы не можем в явном виде выразить корни

Вот мы и доказали, что уравнение имеет только один корень [tex]x=1[/tex]