Verified answer

Ответ:

x = 0  .................................

Объяснение:

Первое уравнение

Воспользуемся [tex]$\mathrm{AM-GM}$[/tex] и неравенством Бернулли

[tex]\mathrm{RHS}\leq 2\cdot 128\sqrt{\frac{(1+x)^7+(1-x)^7}{2}}=256\sqrt{7x^6+35x^4+21x^2+1}\leq\\\leq 256\sqrt{1+63x^2}\leq 256\left ( 1+\frac{63x^2}{2} \right )[/tex]

[tex]$\mathrm{LHS}\geq 256\left ( 1+\frac{63x^2}{2} \right )\Rightarrow x=0$[/tex]

Второе уравнение

[tex]$6\sqrt[6]{2x-1}+6\sqrt[6]{2-x}-7\sqrt[7]{(2x-1)(2-x)}=5$[/tex][tex]$f(x,y)=6\sqrt[6]{x}+6\sqrt[6]{y}-7\sqrt[7]{xy}; x,y > 0;x+2y=3$[/tex][tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}-\frac{y}{\sqrt[7]{x^6y^6}}=0, \; \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}-\frac{x}{\sqrt[7]{x^6y^6}}$[/tex]

[tex]$f(1,1)=5, \ \ f\left ( 0,\frac{3}{2} \right )=6\sqrt[6]{\frac{3}{2}}, \ \f(3,0)=6\sqrt[6]{3}\Rightarrow \min f=5\Rightarrow \begin{cases}2x-1=1\\ 2-x=1\end{cases}\Rightarrow x=1$[/tex]

Четвёртое уравнение

[tex]$\begin{cases}\sqrt[5]{1-2015x}=a\\ \sqrt[5]{1+2015x}=b\\\sqrt[5]{1-2016x}=c\\\sqrt[5]{1+2016x}=d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a+b=c+d\\a^5+b^5=2\\c^5+d^5=2\\a^5+b^5=c^5+d^5\end{cases}\Rightarrow (a+b)^5=(c+d)^5$[/tex]

[tex]$a^5+b^5+5a^4b+100a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4=c^5+d^5+5c^4d+10c^3d^2+10c^2d^3+5cd^4=0$[/tex][tex]$ab\left ( a^3+2a^2b+2ab^2+b^3 \right )=cd\left ( c^3+2c^2d+2cd^2+d^3 \right )$$[/tex][tex]$ab\left ( (a+b)^3-ab(a+b) \right )=cd\left ( (c+d)^3-cd(c+d) \right )$[/tex][tex]$ab\left ( (a+b)^3-ab(a+b) \right )=cd\left ( (a+b)^3-cd(a+b) \right )$[/tex][tex]$ab (a+b)^2-a^2b^2=cd(a+b^2)-c^2d^2\Leftrightarrow (a+b)^2(ab-cd)=(ab-cd)(ab+cd)$[/tex]

[tex]$ab-cd=0\Rightarrow \sqrt[5]{1-(2015x)^2}=\sqrt[5]{1-(2016x)^2}\Rightarrow x=0$[/tex][tex]$a+b=0\Rightarrow \sqrt[5]{1-2015x}+\sqrt[5]{1+2015x}=0\Rightarrow x\notin \mathbb{R}$[/tex]