1) почему на тригонометрическом круге синус и косинус расположены внутри единичного круга 2) почему на тригонометрическом круге тангенс и котангенс расположены за пределами единичного круга
Answers & Comments
InspiredMole
1) Рассмотрим синий треугольник внутри тригонометрического круга. Этот круг имеет радиус R=1 !!! То есть гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1. ( Обозначим гипотенузу ОА, R=OA, катет на оси ОХ обозначим ОВ) . Тогда по определению синуса имеем : sina=sin<AOB=AB/OA=AB/1=AB . Получили, что катет АВ, противолежащий углу АОВ, равен sina !!! Аналогично, если находить cos<AOB, то получим cosa=OB/OA=OB/1=OB. То есть длина катета ОВ, прилежащего к углу АОВ, равна cosa. И это всё из-за того, что гипотенуза равна ЕДИНИЧНОМУ радиусу. Длины катетов синего треугольника, который находится внутри единичной окружности, численно равны sina и cosa. И, естественно, эти катеты расположены внутри окружности. Теперь про tga и ctga. Эти функции - есть отношение катетов, то есть tga=AB/OB , ctga= OB/AB . Как же увидеть отрезок, длина которого равна либо tga либо ctga ? Учитывая всё сказанное про sina и cosa, надо в знаменателе дробей иметь длину катета, равную 1, тогда получим явно отрезок, равный либо tga, либо ctga. Вспоминаем, что у нашей окружности R=1. Было бы хорошо, чтобы катет был равен R. А в синем треугольнике этого нет. Как быть? Вспоминаем, что величина тригонометрических функций углов не зависит от размера треугольника, а зависит только от размеров угла. Значит, можно рассматривать треугольник, подобный синему треугольнику, катет которого будет равен R=1. Такой треугольник легко изобразить, начертив одну из сторон параллельно катету AB. Чертим треугольник, подобный синему, начертив параллельно катету АВ, сторону СД, проходящую через точку С - точку пересечения оси ОХ и R. Причём угол АОВ не измениться, а останется прежним. И его tga будет равен отношению нового катета СД к ОС=R=1 : tga=CД/OC=CД/R=СД/1=СД ( катет СД=tga - это тот катет, около которого на чертеже написано tga). Вот поэтому отрезок, длина которого численно равна tga находится вне единичной окружности. Аналогично, с ctga.
1) Если мы представим cos и sin в виде функции, то они будут представлять изогнутый линию, не входящую за пределы единицы 2) Тангенс и котангенс при представлении их в виде функции будут похожи на график х^3, но эти линии будут повторяться
Answers & Comments
Тогда по определению синуса имеем : sina=sin<AOB=AB/OA=AB/1=AB .
Получили, что катет АВ, противолежащий углу АОВ, равен sina !!!
Аналогично, если находить cos<AOB, то получим cosa=OB/OA=OB/1=OB.
То есть длина катета ОВ, прилежащего к углу АОВ, равна cosa.
И это всё из-за того, что гипотенуза равна ЕДИНИЧНОМУ радиусу.
Длины катетов синего треугольника, который находится внутри единичной окружности, численно равны sina и cosa.
И, естественно, эти катеты расположены внутри окружности.
Теперь про tga и ctga. Эти функции - есть отношение катетов, то есть
tga=AB/OB , ctga= OB/AB .
Как же увидеть отрезок, длина которого равна либо tga либо ctga ?
Учитывая всё сказанное про sina и cosa, надо в знаменателе дробей иметь длину катета, равную 1, тогда получим явно отрезок, равный либо tga, либо ctga. Вспоминаем, что у нашей окружности R=1. Было бы хорошо, чтобы катет был равен R. А в синем треугольнике этого нет.
Как быть? Вспоминаем, что величина тригонометрических функций углов не зависит от размера треугольника, а зависит только от размеров угла. Значит, можно рассматривать треугольник, подобный синему треугольнику, катет которого будет равен R=1. Такой треугольник легко изобразить, начертив одну из сторон параллельно катету AB.
Чертим треугольник, подобный синему, начертив параллельно катету АВ, сторону СД, проходящую через точку С - точку пересечения оси ОХ и R. Причём угол АОВ не измениться, а останется прежним. И его tga будет равен отношению нового катета СД к ОС=R=1 :
tga=CД/OC=CД/R=СД/1=СД ( катет СД=tga - это тот катет, около которого на чертеже написано tga).
Вот поэтому отрезок, длина которого численно равна tga находится вне единичной окружности.
Аналогично, с ctga.
Verified answer
1) Если мы представим cos и sin в виде функции, то они будут представлять изогнутый линию, не входящую за пределы единицы2) Тангенс и котангенс при представлении их в виде функции будут похожи на график х^3, но эти линии будут повторяться