Ответ:

Наибольшее и наименьшее значения функция достигает или в точках экстремума или на концах промежутка .  

[tex]\bf f(x)=\dfrac{x^2+7x}{x-9}\ \ ,\ \ x\in [-4\ ;\ 1\ ][/tex]  

Ищем критические точки .

[tex]\bf f'(x)=\dfrac{(x^2+7x)'(x-9)-(x^2+7x)(x-9)'}{(x-9)^2}=\\\\\\=\dfrac{(2x+7)(x-9)-(x^2+7x)\cdot 1}{(x-9)^2}=\dfrac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}=0\\\\\\x^2-18x-63=0\ \ ,\ \ x\ne 9\\\\D/4=9^2+63=144\ \ ,\ \ x_1=9-12=-3\ \ ,\ \ x_2=9+12=21[/tex]

Точка  х=21 не входит в заданный промежуток .

Вычисляем значения функции на концах промежутка и при  х= -3 . Сравниваем эти значения .

[tex]\bf f(-4)=\dfrac{16-28}{-13}=\dfrac{12}{13}\\\\f(-3)=\dfrac{9-21}{-12}=1\\\\f(1)=\dfrac{1+7}{-8}=-1[/tex]  

Наименьшее значение функции :  [tex]\bf f(naimen.)=f(1)=-1[/tex]   .

Наибольшее значение функции :  [tex]\bf f(naibol.)=f(-3)=1[/tex]   .