Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1[/tex]

Формулы приведения:

[tex]\sin(\pi+\alpha )=-\sin\alpha,\ \Big( \sin^2(\pi+\alpha )=\sin^2\alpha\Big)[/tex]

[tex]\sin\left( \dfrac{3\pi}{2} -\alpha \right)=-\cos\alpha[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]\sin^2(\pi +2x)-5\sin\left( \dfrac{3\pi}{2} -2x\right)-5=0[/tex]

Воспользуемся формулами приведения:

[tex]\sin^22x+5\cos 2x-5=0[/tex]

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

[tex]1-\cos^22x+5\cos 2x-5=0[/tex]

[tex]-\cos^22x+5\cos 2x-4=0[/tex]

[tex]\cos^22x-5\cos 2x+4=0[/tex]

Решаем квадратное уравнение относительно косинуса. Так как сумма коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй корень равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

[tex]\cos2x=1;\ \cos2x=4[/tex]

Так как косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то второе уравнение не имеет корней. Решаем оставшееся уравнение:

[tex]\cos2x=1[/tex]

[tex]2x=2\pi n[/tex]

[tex]x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Выполним отбор корней. По условию задан отрезок [tex][-3\pi;\ -\pi][/tex]:

[tex]-3\pi\leqslant \pi n \leqslant -\pi[/tex]

[tex]-3\leqslant n \leqslant -1[/tex]

Три целых числа удовлетворяют полученному двойному неравенству. Находим корни, соответствующие этим целым числам, и умножаем полученные корни на 12/п:

[tex]n=-3:\ x_1=-3\pi \Rightarrow x_1'=-3\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-36[/tex]

[tex]n=-2:\ x_2=-2\pi \Rightarrow x_2'=-2\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-24[/tex]

[tex]n=-1:\ x_3=-\pi \Rightarrow x_3'=-\pi \cdot\dfrac{12}{\pi} =-12[/tex]

Ответ: -36; -24; -12