Verified answer

Ответ:

У параллелограмма противоположные стороны равны.

BC=AD

В треугольнике ABD, найдем cos<A по теореме косинусов

[tex] {8}^{2} = {9}^{2} + {7}^{2} - 2 \times 9 \times 7 \times \cos(\angle A) \\ 64 = 81 + 49 - 126 \cos(\angle A) \\ 64 - 130 = - 126 \cos(\angle A) \\ \cos( \angle A) = \frac{66}{126} \\ \cos(\angle A) = \frac{11}{21} [/tex]

Значит можно сказать, что <A= arccos(11/21)

В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180° или π.

Тогда можно записать, что <B=π-arccos(11/21)

Теперь опять же применим теорему косинусов, но теперь, чтобы найти диагональ AC=x.

[tex] {x}^{2} = {7}^{2} + {9}^{2} - 2 \times 7 \times 9 \times \cos(\pi - \arccos \bigg( \frac{11}{21} \bigg) ) \\ {x}^{2} = 49 + 81 - 126 \cos(\pi - \arccos \bigg( \frac{11}{21} \bigg) ) [/tex]

Тут я отдельно покажу решения этого косинуса:

[tex] \cos(\pi - \arccos (\frac{11}{26}) ) [/tex]

По формуле косинуса разности раскрываем:

[tex] \cos( \alpha - \beta ) = \cos( \alpha ) \cos( \beta ) + \sin( \alpha ) \sin( \beta ) [/tex]

[tex] \cos(\pi ) \cos( \arccos( \frac{11}{21} ) ) + \sin(\pi) \sin( \arccos( \frac{11}{21} ) ) [/tex]

Раскрытие синуса и косинуса арккосинусов:

[tex] \cos( \arccos( \alpha ) ) = \alpha \\ \sin( \arccos( \alpha ) ) = \sqrt{1 - { \alpha }^{2} } [/tex]

[tex] - 1 \times \frac{11}{21} + 0 \times \sqrt{1 - {( \frac{11}{21}) }^{2} } = - \frac{11}{21} [/tex]

Ответ того косинуса будет -11/21.

Итак, решаем дальше уравнение из теоремы косинусов:

[tex] {x}^{2} = 130 - 126 \times \bigg( - \frac{11}{21} \bigg) \\ {x}^{2} = 130 + 66 \\ {x}^{2} = 196 \\ x = \pm \sqrt{196} \\ x = \pm14[/tex]

Тут тоже длина не может быть отрицательной.

Поэтому AC=14