Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.
Якобиан обратного преобразования: Якобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования
Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:
Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:
Ответ:
В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.
Answers & Comments
Verified answer
Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.Якобиан обратного преобразования:
Якобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования
Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:
Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:
Ответ:
В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.