[tex]\displaystyle\bf\\ODZ:\\1) \ 2x-1 > 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ x > 0,5\\\\2) \ x+1 > 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ x > -1\\\\3) \ x+2 > 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ x > -2[/tex]

Окончательный вывод :

[tex]\displaystile\bf\\\boxed{\boxed{x > 0,5}}[/tex]

Представим правую часть как

[tex]\displaystyle\bf\\2+\log_{2} (x+2)=\log_{2} 4+\log_{2} (x+2)[/tex]

Получим :

[tex]\displaystyle\bf\\\log_{2} (2x-1)+\log_{2} (x+1)=\log_{2} 4+\log_{2} (x+2)[/tex]

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

[tex]\displaystyle\bf\\\log_{2}\Big[(2x-1)\cdot(x+1)\Big] =\log_{2}\Big[4\cdot(x+2)\Big] \\\\(2x-1)(x+1)=4\cdot(x+2)\\\\2x^{2} +2x-x-1=4x+8\\\\2x^{2} +2x-x-1-4x-8=0\\\\2x^{2} -3x-9=0\\\\D=(-3)^{2} -4\cdot 2\cdot (-9)=9+72=81=9^{2} \\\\\\x_{1} =\frac{3+9}{4} =3\\\\\\x_{2} =\frac{3-9}{4} =-1,5 < 0,5-neyd[/tex]

С учётом ОДЗ , ответ  : x = 3