Даны вектора а(2;-2;1) , b(8;4;1). Найти площадь треугольника, построенного на векторах 2а и b.

Объяснение:

S=1/2*a*b*sin(a;b),  где а и b  стороны треугольника.

Сторонами треугольника будут отрезки на которых лежат вектора [tex]\displaystyle 2\vec{a}[/tex] и [tex]\displaystyle \vec{b}[/tex] .

Найдем координаты вектора  [tex]\displaystyle 2\vec{a}[/tex](2*2;-2*2;1*2 ) или   [tex]\displaystyle 2\vec{a}[/tex](4;-4;2 ).

Длина [tex]\displaystyle |2\vec{a}|=\sqrt{(4^{2} +(-4)^{2}+2^{2} }) =6[/tex]

Длина [tex]\displaystyle |\vec{b}|=\sqrt{(8^{2} +4^{2}+1^{2} }) =9.[/tex]/

Найдем угол между ними по формуле [tex]\displaystyle \vec{a}*\vec{b}=|a|*|b|*cos(a;b)[/tex]

4*8-4*4+2*1=6*9*cosα ⇒ cosα=18/54 ,cosα=1/3.

По основному тригонометрическому тождеству

sinα=√(1-1/9)=(2√2)/3

[tex]\displaystyle S=1/2* |2\vec{a}|* |\vec{b}|*sin(a;b),[/tex][tex]\displaystyle S=\frac{1}{2} * 6*9*\frac{2\sqrt{2} }{3} =18\sqrt{2}[/tex] ( ед²)