Для знаходження фокусів і ексцентриситету гіперболи необхідно спочатку перевести рівняння гіперболи до канонічного вигляду: $$\frac{x^2}{\frac{275}{11}} - \frac{y^2}{11} = 1.$$ Звідси маємо, що $a^2 = \frac{275}{11}$ та $b^2 = 11$. Тому $a = \sqrt{\frac{275}{11}} = 5\sqrt{11}$ та $b = \sqrt{11}$.
Ексцентриситет гіперболи визначається формулою $e = \sqrt{a^2 + b^2} / a$, тому підставляємо відомі значення і отримуємо: $$e = \sqrt{\left(\frac{275}{11}\right) + 11} / \sqrt{\frac{275}{11}} = \sqrt{\frac{286}{275}} = \frac{\sqrt{286}}{5}.$$
Фокуси гіперболи знаходяться на вісі $x$ і мають координати $(\pm c, 0)$, де $c = ae$. Підставляємо відомі значення і отримуємо: $$c = 5\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{286}}{5} = \sqrt{11 \cdot 286} = \sqrt{3118}.$$ Отже, фокуси мають координати $(\pm \sqrt{3118}, 0)$.
Відповідь: ексцентриситет гіперболи дорівнює $\frac{\sqrt{286}}{5}$, а фокуси мають координати $(\pm \sqrt{3118}, 0)$.
Answers & Comments
Verified answer
Для знаходження фокусів і ексцентриситету гіперболи необхідно спочатку перевести рівняння гіперболи до канонічного вигляду:$$\frac{x^2}{\frac{275}{11}} - \frac{y^2}{11} = 1.$$
Звідси маємо, що $a^2 = \frac{275}{11}$ та $b^2 = 11$. Тому $a = \sqrt{\frac{275}{11}} = 5\sqrt{11}$ та $b = \sqrt{11}$.
Ексцентриситет гіперболи визначається формулою $e = \sqrt{a^2 + b^2} / a$, тому підставляємо відомі значення і отримуємо:
$$e = \sqrt{\left(\frac{275}{11}\right) + 11} / \sqrt{\frac{275}{11}} = \sqrt{\frac{286}{275}} = \frac{\sqrt{286}}{5}.$$
Фокуси гіперболи знаходяться на вісі $x$ і мають координати $(\pm c, 0)$, де $c = ae$. Підставляємо відомі значення і отримуємо:
$$c = 5\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{286}}{5} = \sqrt{11 \cdot 286} = \sqrt{3118}.$$
Отже, фокуси мають координати $(\pm \sqrt{3118}, 0)$.
Відповідь: ексцентриситет гіперболи дорівнює $\frac{\sqrt{286}}{5}$, а фокуси мають координати $(\pm \sqrt{3118}, 0)$.