Ответ:

45√6 см²

Объяснение:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды находится по формуле:

[tex]S=\dfrac{P_1+P_2}{2}\cdot l[/tex]

где Р₁ и Р₂ - периметры оснований пирамиды,

l - апофема.

Основания - правильные треугольники, значит

Р₁ = 12 · 3 = 36 см

Р₂ = 18 · 3 = 54 см

Найдем апофему - высоту боковой грани.

Пусть Н и Н₁ - середины ребер ВС и В₁С₁. Тогда АН и АН₁ - медианы и высоты равносторонних треугольников.

Проведем Н₁К⊥(АВС). НК - проекция Н₁Н на (АВС), значит НН₁⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.

H₁H = l - апофема.

∠Н₁НК = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре большего основания.

Если О и О₁ - центры оснований, то ОН и ОН₁ - радиусы вписанных в основания окружностей.

[tex]OH=\dfrac{BC\sqrt{3}}{6}=\dfrac{18\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3}[/tex] см

[tex]O_1H_1=\dfrac{B_1C_1\sqrt{3}}{6}=\dfrac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}[/tex] см

ОО₁Н₁К - прямоугольник (все углы прямые),  ⇒

ОК = О₁Н₁ = 2√3 см

КН = ОН - ОК = 3√3 - 2√3 = √3 см

ΔН₁НК - прямоугольный, равнобедренный (второй острый угол так же 45°), значит Н₁Н = КН√2 = √3 · √2 = √6 см

l = √6 см

[tex]S=\dfrac{P_1+P_2}{2}\cdot l=\dfrac{36+54}{2}\cdot \sqrt{6}=\dfrac{90}{2}\cdot \sqrt{6}=45\sqrt{6}[/tex]

Площадь боковой поверхности равна 45√6 см².