Verified answer

Ответ:

[tex]x_{1} = \frac{\pi }{3} + 2\pi n[/tex]      n ∈ Z

[tex]x_{2} = -\frac{\pi }{3} + 2\pi n[/tex]   n ∈ Z

Объяснение:

[tex]4sin^{2}x - 4cosx - 1 = 0[/tex]

Известно, что:

[tex]sin^{2}x = 1 - cos^{2} x[/tex]

Тогда:

[tex]4(1 - cos^{2} x) - 4cosx - 1 = 0[/tex]

Раскроем скобки:

[tex]4 - 4cos^{2} x - 4cosx - 1 = 0[/tex]

[tex]-4cos^{2}x - 4cosx + 3 = 0[/tex] | * (-1)

[tex]4cos^{2}x + 4cosx - 3 = 0[/tex]

Введем новую переменную t = cosx, тогда:

[tex]4t^{2} + 4t - 3 = 0[/tex]

[tex]D = 4^{2}- 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64[/tex]

[tex]t_{1} = \frac{-4 - \sqrt{64} }{2 * 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = 1,5[/tex]

[tex]t_{2} = \frac{-4 + \sqrt{64} }{2 * 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/tex]

cosx = 1,5  или  cosx = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

cosx = 1,5 не может являться корнем уравнения, так как  [tex]-1\leq cosx \leq 1[/tex]

[tex]cosx = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x_{1} = \frac{\pi }{3} + 2\pi n[/tex]      n ∈ Z

[tex]x_{2} = -\frac{\pi }{3} + 2\pi n[/tex]   n ∈ Z