Verified answer

Ответ:

  [tex](x^2+siny)\, dx+(1+x\, cosy)\, dy=0[/tex]

Проверим, является ли заданное дифф.уравнение, уравнением  в полных дифференциалах .

[tex]P(x,y)=x^2+siny\ \ ,\ \ \ Q(x,y)=1+x\, cosy\\\\\\\dfrac{\partial P}{\partial y}=(x^2+siny)'_{y}=cosy\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=(1+x\, cosy)'_{x}=cosy[/tex]

Получили, что  [tex]\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}[/tex] . Поэтому заданное д.у. является д.у. в полных дифференциалах. И можно записать

[tex]\dfrac{\partial F}{\partial x}=x^2+sinx\ \ ,\ \ \ \dfrac{\partial F}{\partial y}=1+x\, cosy[/tex]  .

Теперь найдём   [tex]\displaystyle F(x,y)=\int (x^2+siny)\, dx=\frac{x^3}{3}+x\cdot siny+\varphi (y)[/tex]  

[tex]\displaystyle \dfrac{\partial F}{\partial y}=\Big(\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+\varphi(y)\Big)'_{y}=x\cdot cosy+\varphi '(y)\\\\x\cdot cosy+\varphi '(y)=1+x\, cosy\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \varphi '(y)=1\\\\\varphi (y)=\int 1\cdot dy=y+C[/tex]

Подставим найденное значение  [tex]\varphi (y)[/tex]  в выражение для  [tex]F(x,y)[/tex] :

  [tex]F(x,y)=\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+y+C[/tex]

Ответ: общий интеграл     [tex]\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+y+C=0[/tex]  .