Ответ:

Найбільша висота = 15см, r = 3см

Объяснение:

[tex]S_{ABC}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]*a*h ,
де a та h відповідно довжина сторони та висота трикутника, опущена на цю сторону. Найдовша висота трикутника буде лежати навпроти найкоротшої сторони трикутника.
За Формулою Герона [tex]S_{ABC}[/tex] = [tex]\sqrt[2]{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Знайдемо р.
p = [tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex] = [tex]\frac{16+25+39}{2}[/tex] = [tex]\frac{80}{2}[/tex] = 40 (cм)
[tex]S_{ABC}[/tex] = [tex]\sqrt[2]{40(40-16)(40-25)(40-39)}[/tex] =  [tex]\sqrt[2]{40*24*15*1}[/tex] =  [tex]\sqrt[2]{14400}[/tex] = 120(см²)

Тепер, використовуючи основну формулу знаходження площи трикутника, знайдемо висоту.
[tex]S_{ABC}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]*a*h

120=  [tex]\frac{1}{2}[/tex]*16*h
h = [tex]\frac{120}{16}[/tex] * 2 = 7,5*2 = 15 (см)

Радіус вписаного кола можна обчислити за формулою r = [tex]\frac{S}{p}[/tex]
r = [tex]\frac{120}{40}[/tex] = 3(см)