[tex]\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x(t)=2\sin\dfrac{\pi t}{3},\\[10pt] y(t)=-3\cos\dfrac{\pi t}{3}+4.\end{array}\right.[/tex]

Выразим тригонометрические функции:

[tex]\left\{\begin{array}{@{}l@{}}\sin\dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{x}{2},\\[13pt] \cos\dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{y-4}{-3}.\end{array}\right.[/tex]

Ну, теперь прямо напрашивается основное тригонометрическое тождество

[tex]\sin^2\dfrac{\pi t}{3} + \cos^2\dfrac{\pi t}{3} =1, \\[10pt] \bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{y-4}{3}\bigg)^2 = 1.[/tex]

Если произвести замены [tex]x=\widetilde{y},\quad -(y-4)=\widetilde{x}[/tex], то получим каноническое уравнение эллипса с центром в точке с координатами [tex](0;0)_{\widetilde{x},\widetilde{y}} = (0;4)_{x,y}[/tex] и длинами полуосей равными [tex]3[/tex] и [tex]2[/tex] соответственно по осям абсцисс и ординат в новой системе координат:

[tex]\dfrac{\widetilde{y}^2}{2^2}+\dfrac{\widetilde{x}^2}{3^2}=1[/tex]